「代数学の基本定理」の版間の差分

履歴の双方向閲覧

← 古い編集新しい編集 →

削除された内容追加された内容

ビジュアルウィキテキスト

インライン

2018年4月24日 (火) 07:23時点における版

代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）は「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在する」という定理である。

概要

一般に実数係数の代数方程式が実数の範囲内に解を有するとは限らないが、x² + 1 というただ 1 つの多項式の根（虚数単位）を実数体に付け加えると、どんな代数方程式でもその体系内で解ける。

この定理の主張は、因数定理などを用いて帰納的に

複素数係数の任意のn 次多項式

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\quad (a_{n},\dots ,a_{0}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)

は複素数の根を（重複度込みで考えれば）ちょうど n 個持つ

という事実を導くので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。とくに、どのような複素係数多項式であっても、それを複素数係数の一次式の冪積に分解できる。すなわち、体論の言葉で言えば「複素数体は代数的閉体である」。

歴史

17世紀前半にアルベール・ジラール（フランス語版、英語版）らによって主張され、18世紀の半ばからジャン・ル・ロン・ダランベール、レオンハルト・オイラー、フランソワ・ダヴィエ・ド・フォンスネ（英語版）、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ、ピエール＝シモン・ラプラスらが証明を試みた。証明は洗練されていったがどれも不完全なものであった。

1799年にカール・フリードリヒ・ガウスが学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の完全な証明を与えた^[1]。後年ガウスはこの定理に3つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。

証明

最もよく知られている初等的な証明は、次のようにして行う。

$f(x)=|a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}|$ は、|x| を十分大きくするといくらでも大きくできる。
コンパクト集合上の連続関数が最小値を持つことから、f(x) が最小値を持つことが分かる。
その最小値を c として、c ≠ 0 と仮定すると、x と $f(x_{c})=c$ を与える $x_{c}$ の差分 $x-x_{c}$ を考えると、x を少しずらすだけで、より小さな f(x) が存在することが分かり、c が最小値であることに矛盾する。

これで証明が終わる。

複素解析的な証明

複素解析的な方法を用いる証明法としては、リウヴィルの定理を用いる方法と、ルーシェの定理を用いる方法が有名である。以下にリウヴィルの定理を用いる証明の概略を示す（ルーシェの定理を用いる証明については、ルーシェの定理#代数学の基本定理の証明を参照）。

f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}

を最高次数の係数が 1 の任意のn次複素数係数多項式とする。

複素平面上で f(z) が零点を持たないと仮定すると、g(z) = 1/f(z) と置けば g(z) は複素平面全体で正則かつ有界であり、リウヴィルの定理から g(z) は定数となり、当然 f(z) も定数となるが、これは f(z) の形と矛盾する。従って、f(z) は複素平面上で少なくとも1つの零点を持つ。

脚注

^ ただし、ガウスの最初の証明も幾何学的な前提としてジョルダン曲線定理が暗黙で使われており、後年の観点からは不備があることが分かっている。

参考文献

彌永昌吉『数の体系』下、岩波書店〈岩波新書（黄版）43〉、1978年4月。ISBN 4-00-420043-1。
高木貞治『解析概論』（改訂第3版軽装版）岩波書店、1983年9月。ISBN 4-00-005171-7。
高木貞治『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年11月。ISBN 4-320-01000-0。
Fine, Benjamin、Rosenberger, Gerhard『代数学の基本定理』新妻弘・木村哲三訳、共立出版、2002年2月。ISBN 4-320-01689-0。

外部リンク

代数学の基本定理 (PDF)
代数学の基本定理 (PDF)
Weisstein, Eric W. "Fundamental Theorem of Algebra". mathworld.wolfram.com (英語).
ガウスの第1証明（ラテン語） - Google ブックス
ガウスの第1証明（ラテン語） - Google ブックス

[1] ただし、ガウスの最初の証明も幾何学的な前提としてジョルダン曲線定理が暗黙で使われており、後年の観点からは不備があることが分かっている。

[1]

@@ 1行目: / 1行目: @@
-'''代数学の基本定理'''（だいすうがくのきほんていり、{{lang-en-short|fundamental theorem of algebra}}）は「次数が 1 以上の任意の[[複素数|複素]][[係数]]一変数[[多項式]]には複素[[零点|根]]が存在していらっしゃる」 という[[定理]]であられる。
+'''代数学の基本定理'''（だいすうがくのきほんていり、{{lang-en-short|fundamental theorem of algebra}}）は「次数が 1 以上の任意の[[複素数|複素]][[係数]]一変数[[多項式]]には複素[[零点|根]]が存在する」 という[[定理]]である。
 == 概要 ==
-一般に[[実数]]係数の[[代数方程式]]が実数の範囲内に解を有してらっしゃるとは限らなくあられるのですが、''x''<sup>2</sup> + 1 というただ 1 つの多項式の根（[[虚数単位]]）を実数体に[[添加 (体論)|付け加えます]]と、どんな代数方程式でもその体系内でお解きになられる。
+一般に[[実数]]係数の[[代数方程式]]が実数の範囲内に解を有するとは限らないが、''x''<sup>2</sup> + 1 というただ 1 つの多項式の根（[[虚数単位]]）を実数体に[[添加 (体論)|付け加える]]と、どんな代数方程式でもその体系内で解ける。
 この定理の主張は、[[因数定理]]などを用いて帰納的に
@@ 9行目: / 9行目: @@
   a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 \quad (a_n, \dots, a_0 \in \mathbb{C},\; a_n \ne 0)
 </math>
-:は複素数の根を（[[重根_(多項式)|重複度]]込みでお考えになれば）ちょうど ''n'' 個持つ
+:は複素数の根を（[[重根_(多項式)|重複度]]込みで考えれば）ちょうど ''n'' 個持つ
-という事実をお導きになるので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともあられる。とくに、どのような複素係数多項式でいらしても、それを複素数係数の一次式の冪積にご分解することがおできになられる。すなわち、[[体論]]の言葉でおっしゃれば「複素数体は[[代数的閉体]]でいらっしゃる」 。
+という事実を導くので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともある。とくに、どのような複素係数多項式であっても、それを複素数係数の一次式の冪積に分解できる。すなわち、[[体論]]の言葉で言えば「複素数体は[[代数的閉体]]である」 。
 == 歴史 ==
-[[17世紀]]前半に{{仮リンク|アルベール・ジラール|fr|Albert Girard|en|Albert Girard}}様らによってご主張なされ、[[18世紀]]の半ばから[[ジャン・ル・ロン・ダランベール]]様、[[レオンハルト・オイラー]]様、{{仮リンク|フランソワ・ダヴィエ・ド・フォンスネ|en|François Daviet de Foncenex}}様、[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]様、[[ピエール＝シモン・ラプラス]]様らがご証明をお試みになられた。証明は洗練されていったがどれも不完全なものでいらっしゃった。
+[[17世紀]]前半に{{仮リンク|アルベール・ジラール|fr|Albert Girard|en|Albert Girard}}らによって主張され、[[18世紀]]の半ばから[[ジャン・ル・ロン・ダランベール]]、[[レオンハルト・オイラー]]、{{仮リンク|フランソワ・ダヴィエ・ド・フォンスネ|en|François Daviet de Foncenex}}、[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]、[[ピエール＝シモン・ラプラス]]らが証明を試みた。証明は洗練されていったがどれも不完全なものであった。
-[[1799年]]に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]様が学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の完全な証明をお与えになった<ref>ただし、ガウス様の最初のご証明も幾何学的な前提として[[ジョルダン曲線定理]]が暗黙で使われていらっしゃり、後年の観点からは不備があることが分かっていらっしゃる。</ref>。後年ガウス様はこの定理に3つの異なるご証明をお与えになられた。現在ではさらに多くの証明が知られていらっしゃる。
+[[1799年]]に[[カール・フリードリヒ・ガウス]]が学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の完全な証明を与えた<ref>ただし、ガウスの最初の証明も幾何学的な前提として[[ジョルダン曲線定理]]が暗黙で使われており、後年の観点からは不備があることが分かっている。</ref>。後年ガウスはこの定理に3つの異なる証明を与えた。現在ではさらに多くの証明が知られている。
 == 証明 ==
-最もよく知られていらっしゃる初等的な証明は、次のようにしてお行いになることがおできになられる。
+最もよく知られている初等的な証明は、次のようにして行う。
-* <math>f(x)=|a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0|</math> は、|''x''| を十分大きくなさるといくらでも大きくおできになられる。
+* <math>f(x)=|a_n x^n + \cdots + a_1 x + a_0|</math> は、|''x''| を十分大きくするといくらでも大きくできる。
-* [[コンパクト (数学)|コンパクト集合]]上の[[連続関数]]が最小値をお持ちになることから、''f''(''x'') が最小値をお持ちになることをお導きすることがおできになられる。
+* [[コンパクト (数学)|コンパクト集合]]上の[[連続関数]]が最小値を持つことから、''f''(''x'') が最小値を持つことが分かる。
-* その最小値を ''c'' として、''c'' ≠ 0 と仮定なさり、''x'' と <math>f(x_c)=c</math> をお与えになる <math>x_c</math> の差分 <math>x-x_c</math> をお考えになると、''x'' を少しおずらしになるだけで、より小さな ''f''(''x'') が存在なさることがお分かりになり、''c'' が最小値であられることにご矛盾される。
+* その最小値を ''c'' として、''c'' ≠ 0 と仮定すると、''x'' と <math>f(x_c)=c</math> を与える <math>x_c</math> の差分 <math>x-x_c</math> を考えると、''x'' を少しずらすだけで、より小さな ''f''(''x'') が存在することが分かり、''c'' が最小値であることに矛盾する。
-これで証明が終わることになられる。
+これで証明が終わる。
 === 複素解析的な証明 ===
-[[複素解析]]的な方法を用いる証明法としましては、[[リウヴィルの定理 (解析学)|リウヴィル様の定理]]をお用いになる方法と、[[ルーシェの定理]]をお用いになる方法が有名でいらっしゃる。以下にリウヴィル様の定理をお用いになる証明の概略を示す（ルーシェ様の定理を用いる証明につきましては、[[ルーシェの定理#代数学の基本定理の証明]]をご参照くだされば筆者にとって最上の喜びであります）。
+[[複素解析]]的な方法を用いる証明法としては、[[リウヴィルの定理 (解析学)|リウヴィルの定理]]を用いる方法と、[[ルーシェの定理]]を用いる方法が有名である。以下にリウヴィルの定理を用いる証明の概略を示す（ルーシェの定理を用いる証明については、[[ルーシェの定理#代数学の基本定理の証明]]を参照）。
 :<math>f(z) = z^n + a_{n-1} z^{n-1} +\cdots +a_1 z+a_0</math>
-を最高次数の係数が 1 の任意の''n''次複素数係数多項式と致します。
+を最高次数の係数が 1 の任意の''n''次複素数係数多項式とする。
-複素平面上で ''f''(''z'') が零点をお持ちにならないと仮定されますと、''g''(''z'') = 1/''f''(''z'') とお置きになれば ''g''(''z'') は複素平面全体でご正則かつお有界でいらっしゃり、'''リウヴィル様の定理'''から ''g''(''z'') は定数とおなりになり、当然 ''f''(''z'') も定数とおなりになりますが、これは ''f''(''z'') の形とご矛盾なさる。従って、''f''(''z'') は複素平面上で少なくとも1つの零点をお持ちになる。
+複素平面上で ''f''(''z'') が零点を持たないと仮定すると、''g''(''z'') = 1/''f''(''z'') と置けば ''g''(''z'') は複素平面全体で正則かつ有界であり、'''リウヴィルの定理'''から ''g''(''z'') は定数となり、当然 ''f''(''z'') も定数となるが、これは ''f''(''z'') の形と矛盾する。従って、''f''(''z'') は複素平面上で少なくとも1つの零点を持つ。
 == 脚注 ==

「代数学の基本定理」の版間の差分

2018年4月24日 (火) 07:23時点における版

概要

歴史

証明

複素解析的な証明

脚注

参考文献

関連文献

関連項目

外部リンク