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== オイラー積分表示 == |
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== オイラー積分表示 == |
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ガウスの超幾何関数は[[オイラー積分]]で表される<ref name="hara">原岡喜重. (2002). 超幾何関数. [[朝倉書店]].</ref><ref name="toki">時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. [[共立出版]].</ref>。 |
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ガウスの超幾何関数は[[オイラー積分]]で表される<ref name="hara">原岡喜重. (2002). 超幾何関数. [[朝倉書店]].</ref><ref name="toki">時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. [[共立出版]].</ref>。 |
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:<math>F(a,b,c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0<\real{a}<\real{c},|z|<1)</math> |
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:<math>F(a,b;c;z)=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{1}t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-tz)^{-b}dt\qquad(0<\real{a}<\real{c},|z|<1)</math> |
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これは |
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これは |
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:<math>\begin{align}F(a,b,c;z) |
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:<math>\begin{align}F(a,b;c;z) |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\ |
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== 超幾何定理 == |
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== 超幾何定理 == |
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ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に<math>z=1</math>を代入するとガウスの超幾何定理を得る<ref name="toki"/><ref>{{MathWorld|title=Gauss's Hypergeometric Theorem|urlname=GausssHypergeometricTheorem}}</ref>。 |
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ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に<math>z=1</math>を代入するとガウスの超幾何定理を得る<ref name="toki"/><ref>{{MathWorld|title=Gauss's Hypergeometric Theorem|urlname=GausssHypergeometricTheorem}}</ref>。 |
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:<math>\begin{align}F(a,b,c;1) |
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:<math>\begin{align}F(a,b;c;1) |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\ |
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&=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\ |
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\end{align}</math> |
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\end{align}</math> |
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となる。更に<math>a=-n</math>を代入すると{{仮リンク|ヴァンデルモンドの恒等式|en|Vandermonde's identity}}を得る<ref>{{MathWorld|title=Chu-Vandermonde Identity|urlname=Chu-VandermondeIdentity}}</ref>。 |
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となる。更に<math>a=-n</math>を代入すると{{仮リンク|ヴァンデルモンドの恒等式|en|Vandermonde's identity}}を得る<ref>{{MathWorld|title=Chu-Vandermonde Identity|urlname=Chu-VandermondeIdentity}}</ref>。 |
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:<math>F(-n,b,c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}</math> |
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:<math>F(-n,b;c;1)=\frac{\Gamma(c)\Gamma(c-b+n)}{\Gamma(c+n)\Gamma(c-b)}=\frac{(c-b)_n}{(c)_n}</math> |
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== 超幾何微分方程式 == |
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== 超幾何微分方程式 == |
超幾何関数(ちょうきかかんすう、英: hypergeometric function)は以下の超幾何級数で定義される特殊関数である。
ただし、(x)n はポッホハマー記号で表した昇冪 (x)0 = 1、(x)n = x (x+1) (x+2)…(x+n−1) である。
概要
超幾何関数は多くの初等関数や特殊関数を包含する。
対数関数、逆三角関数
完全楕円積分
オイラー積分表示
ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される[1][2]。
これは
として導かれる。
超幾何定理
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示にを代入するとガウスの超幾何定理を得る[2][3]。
となる。更にを代入するとヴァンデルモンドの恒等式(英語版)を得る[4]。
超幾何微分方程式
脚注
参考文献
関連項目
外部リンク