極小曲面

ヘリカルフレーム上の石鹸膜によって形成されるヘリコイド極小面

極小曲面（きょくしょうきょくめん、英: minimal surface）は数学における局所的にその面積を最小化する曲面である。

これは平均曲率（英語: mean curvature）が零をもつことと同じである（以下の定義を見よ）。

解説

「極小曲面」の用語はこれら曲面が本来ある一定の面積を合計として最小にする曲面としてであるから用いられる。極小曲面の面積を最小化する物理的モデルは、石鹸膜（英語: soap film）が生じる、石鹸液に針金の枠を漬けることで作ることができる。それはその針金枠を境界とする極小曲面である。しかしながら、その用語は自己交差や制約されないより一般的な曲面についても用いられる。そこで与えられた制約条件は面積の異なる幾つかの極小曲面をも成り立たせる（例えば、回転極小曲面（英語: minimal susrface of revolution） を見よ）：標準的な定義は局所的最適（英語: local optimun）に関係するだけで、大局的最適（英語: global optimum）ではない。

定義

鞍塔状極小曲面、その面積を増加させる曲面の任意の小さな変形のなかで、最も小さな合計面積をもつ同じ境界である曲面が存在する。

極小曲面は$\mathbb {R} ^{3}$において、幾つかの同値な方法により定義できる。それらが同値である事実は極小曲面の理論がいかに幾つもの数学上の分野にまたがっているかを示す、とりわけ微分幾何学、変分法、ポテンシャル論、複素解析そして数理物理学。

局所最小面積定義（英: local least area definition）：おなじ境界をもつすべての曲面のうち最小の面積をもつ、単純閉曲線により境界づけられた、曲面$M\subset \mathbb {R} ^{3}$は、任意の点 p ∈ Mが近傍をもてば、そのときに限り極小である。

この性質は局所的である：より小さな面積のおなじ境界をもつその他の曲面とともに、極小曲面では領域が存在しなければならない。この性質は石鹸膜に関連して確立された；境界としての針金枠に、極小の面積になるよう石鹸膜は形作られる。

変分的定義（英: variational definition）：曲面$M\subset \mathbb {R} ^{3}$は、コンパクトに支持されたすべての変分に対する面積関数の臨界点であれば、そのときに限り極小である。

この定義は、長さ関数の臨界点として類似に定義されるものである、測地線に対する2次元の類似として極小曲面を成り立たせる。

極小曲面の曲率平面。極小曲面では、主曲率の平面のうちの曲率は同じであり、すべての点で正負が逆である。これは主曲率が零であることを意味する。

平均曲率的定義（英: mean curvature definition）：曲面$M\subset \mathbb {R} ^{3}$は、すべての点でその平均曲率 （英語: mean curvature）が零に等しければそのときに限り極小である。

この定義の直接な意味は、曲面上の任意の点は等しくかつ相対する主曲率の鞍点であるということである。さらに言えば、これは、極小曲面が平均曲率流れ （英語: mean curvature flow）の静的な解を与えることを示す。ヤング・ラプラスの式により、石鹸膜の平均曲率はその側面の圧力差に比例する。もしある領域で石鹸膜が囲まれていなければ、そのときこれはその平均曲率が零になることを成り立たせる。

局所最小面積定義と変分的定義は$\mathbb {R} ^{3}$よりも高次のリーマン多様体へ拡張して定義することを極小曲面に与える。

例

極小曲面の古典的な具体例は以下を含む：

• 自明な場合として、平面
• 懸垂面 （英語: catenoid）：懸垂線をその回転軸に1周して作られる極小曲面

一般化と他分野との関係

極小曲面は$\mathbb {R} ^{3}$以上の、双曲空間 （英語: hyperbolic space ）、高次元空間、またはリーマン多様体のような、他の多様体でも定義できる。

離散微分幾何学 （英語: discrete differential geometry ）では離散極小曲面が研究される：頂点の位置の'微動'（英: small perturbation ）のもとで面積を最小化する三角形による複体。そのような離散化はしばしば、閉じた表現が知られていない表示においても、数値的に極小曲面を近似するのに用いられる。

極小曲面上のブラウン運動は、極小曲面に関する幾つかの定理の、確率論的な証明を導出する。

一般相対性理論とローレンツ幾何学では、みかけの地平線 （英語: apparent horizon ）として知られる、極小曲面の概念の確かな拡張と修正はは顕著である。事象の地平線と対照的に、それらはブラックホールの境界の理解への曲率に基づいた接近法を示す。

極小曲面に近似の、サーカスのテント。

テントのように、極小曲面による構造は用いられる。

極小曲面は現代のデザイナーによって用いられる生成的設計 （英語: generative design ）の道具箱の一部である。建築においては、極小曲面に大いに関係する張力構造において多大な興味をもたれてきた。フライ・オットー、坂茂、ザハ・ハディッドの仕事において著名な事例がみられる。フライ・オットーによるミュンヘン・オリンピック競技場の計画は石鹸膜に着想を得ているさらにフライ・オットーによる別の著名な事例は、カナダのモントリオールの1967年万博でのドイツ館である。

美術界ではとりわけ、ロバート・エグマン （英語: Robert Engman ）（ 1927 - 2018 ）、ロバート・ロングハースト （英語: Robert Longhurst ）（ 1949 - ）、およびチャールズ・O・ペリー （英語: Charles O. Perry ）（ 1929 - 2011 ）の彫塑において、極小曲面は発展的に開花してきた。

関連項目

• Surface Evolver （英語: Surface Evolver ）
• ウィア＝フェラン構造
• 曲率
• 石鹸泡 （英語: soap bubble ）
• 調和写像 （英語: harmonic map ）
• 調和同型 （英語: harmonic morphism ）
• 張力構造
• プラトー問題 （英語: Plateau's problem ）

引用文献

ウェブサイト

• “AD Classics: Olympiastadion (Munich Olympic Stadium) / Behnisch and Partners & Frei Otto” (英語). ArchDaily (2011年2月11日). 2022年9月4日閲覧。
• “Expo 67 German Pavilion”. Architectuu. 2022年9月4日閲覧。

書籍

• Choquet-Bruhat, Yvonne (2009). General relativity and the Einstein equations. Oxford Mathematical Monographs. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923072-3. xxvi+785 pp. 

雑誌

• Pinkall, Ulrich; Polthier, Konrad (1993). “Computing Discrete Minimal Surfaces and Their Conjugates”. Experimental Mathematics 2 (1): 15–36. doi:10.1080/10586458.1993.10504266. MR1246481. http://projecteuclid.org/euclid.em/1062620735. 
• Neel, Robert (2009). “A martingale approach to minimal surfaces”. Journal of Functional Analysis 256 (8): 2440–2472. arXiv:0805.0556. doi:10.1016/j.jfa.2008.06.033. MR2502522. 
• Meeks, William H. III; Pérez, Joaquín (2011). “The classical theory of minimal surfaces”. Bull. Amer. Math. Soc. 48 (3): 325–407. doi:10.1090/s0273-0979-2011-01334-9. MR2801776. 

参考文献

Textbooks

• Tobias Holck Colding and William P. Minicozzi, II. A course in minimal surfaces. Graduate Studies in Mathematics, 121. American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. xii+313 pp. ISBN 978-0-8218-5323-8
• R. Courant. Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces. Appendix by M. Schiffer. Interscience Publishers, Inc., New York, N.Y., 1950. xiii+330 pp.
• Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt, and Friedrich Sauvigny. Minimal surfaces. Revised and enlarged second edition. With assistance and contributions by A. Küster and R. Jakob. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 339. Springer, Heidelberg, 2010. xvi+688 pp. ISBN 978-3-642-11697-1, doi:10.1007/978-3-642-11698-8 , MR2566897
• H. Blaine Lawson, Jr. Lectures on minimal submanifolds. Vol. I. Second edition. Mathematics Lecture Series, 9. Publish or Perish, Inc., Wilmington, Del., 1980. iv+178 pp. ISBN 0-914098-18-7
• Johannes C.C. Nitsche. Lectures on minimal surfaces. Vol. 1. Introduction, fundamentals, geometry and basic boundary value problems. Translated from the German by Jerry M. Feinberg. With a German foreword. Cambridge University Press, Cambridge, 1989. xxvi+563 pp. ISBN 0-521-24427-7
• Robert Osserman. A survey of minimal surfaces. Second edition. Dover Publications, Inc., New York, 1986. vi+207 pp. ISBN 0-486-64998-9, MR0852409

Online resources

• Karcher (1995年). “Touching Soap Films - An introduction to minimal surfaces”. 2006年12月27日閲覧。 (graphical introduction to minimal surfaces and soap films.)
• Jacek Klinowski. “Periodic Minimal Surfaces Gallery”. 2009年2月2日閲覧。 (A collection of minimal surfaces with classical and modern examples)
• Martin Steffens and Christian Teitzel. “Grape Minimal Surface Library”. 2008年10月27日閲覧。 (A collection of minimal surfaces)
• Various (2000年). “EG-Models”. 2004年9月28日閲覧。 (Online journal with several published models of minimal surfaces)

外部リンク

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Minimal surface”, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/p/m063920.htm 
• 3D-XplorMath-J Homepage — Java program and applets for interactive mathematical visualisation
• Gallery of rotatable minimal surfaces
• WebGL-based Gallery of rotatable/zoomable minimal surfaces