区分線形関数

区分線形関数（英: Piecewise linear function）とは、次の式

$f:\Omega \to V$

で表される。ここで、V はベクトル空間、 $\Omega$ はベクトル空間の部分集合である。このとき、 $\Omega$ は有限個の凸多面体に分解でき、f はそれぞれの多面体上の一次関数に等しい。

特殊な場合として、f が区間 $[x_{1},x_{2}]$ で実数値関数である場合がある。このとき、 $[x_{1},x_{2}]$ を有限個の区間に分割でき、それぞれの区間 I について f が下記の線形関数と等しいときのみ、f は区分線形であると言える。

f(x) = a_Ix + b_I

絶対値関数 $f(x)=|x|$ は区分線形関数のよい例である。他にも、矩形波関数、のこぎり波関数、床関数などがある。

区分線形関数の重要な下位クラスとして、連続区分線形関数と凸区分線形関数がある。スプラインは、区分線形関数を高次多面体に一般化したものである。

例

次の関数

f(x)=|x+3|-{\frac {3}{2}}|x|+{\frac {3}{2}}|x-3|-{\frac {9}{2}}

={\begin{cases}-x-3&{\text{if }}x\leq -3\\x+3&{\text{if }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{if }}0\leq x<3\\x-6&{\text{if }}x\geq 3\end{cases}}

は４つの区分をもつ区分線形関数である。（この関数のグラフを右に示す。）線形関数のグラフは直線であるので、区分線形関数のグラフは線分と半直線からなる。