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関数(青)とその区分線形近似(赤)
2次元の区分線形関数(上)とそれが線形となる凸多面体(下)
区分線形関数の例
区分線形関数(英: Piecewise linear function)とは、次の式
で表される。ここで、V はベクトル空間、
はベクトル空間の部分集合である。このとき、
は有限個の凸多面体に分解でき、f はそれぞれの多面体上の一次関数に等しい。
特殊な場合として、f が区間
で実数値関数である場合がある。このとき、
を有限個の区間に分割でき、それぞれの区間 I について f が下記の線形関数と等しいときのみ、f は区分線形であると言える。
絶対値関数
は区分線形関数のよい例である。他にも、矩形波関数、のこぎり波関数、床関数などがある。
区分線形関数の重要な下位クラスとして、連続区分線形関数と凸区分線形関数がある。スプラインは、区分線形関数を高次多面体に一般化したものである。
例
次の関数
![{\displaystyle f(x)=|x+3|-{\frac {3}{2}}|x|+{\frac {3}{2}}|x-3|-{\frac {9}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3ad83be3d7ccac22ad550aec8888bc5176ee826)
![{\displaystyle ={\begin{cases}-x-3&{\text{if }}x\leq -3\\x+3&{\text{if }}-3<x<0\\-2x+3&{\text{if }}0\leq x<3\\x-6&{\text{if }}x\geq 3\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbb506e3272a96fa7e3cc84ae1bb7633a7cf17e3)
は4つの区分をもつ区分線形関数である。(この関数のグラフを右に示す。)線形関数のグラフは直線であるので、区分線形関数のグラフは線分と半直線からなる。
関連項目