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(逆微分) 0) 微分の逆操作を意味する：すなわち、与えられた関数が連続であるとき、微分するとその関数に一致するような新たな関数（原始関数）を求める操作のこと、およびその原始関数の全体(集合)を 逆微分（antiderivative）と言う（積分定数は無視する）。 (積分論) 1) 一変数関数 f(x)…

函数の原始函数はもとの函数が連続となる任意の開区間上で可微分な実函数を与える。例えば逆数函数 x ↦ 1/x は正の実数全体の成す集合上で連続（さらに微分可能）であるから、その原始函数で x = 1 において零となるもの（自然対数函数）は正の実数全体の成す集合上で微分可能である。 実函数 f…

函数またはその値（英語版）（これらはふつうたがいに同一視される）を指し示すもので、この意味での「定数」は扱う問題における主変数に依存しない変数という形で表されるのが普通である。後者の意味での例として、積分定数（英語版）は、与えられた函数の原始函数をすべて得るために特定の原始函数…

でなければ、同じ区間上で常に原始函数が存在して、その一つが F a ( x ) := x a + 1 a + 1 {\displaystyle F_{a}(x):={\frac {x^{a+1}}{a+1}}} で与えられる。a = −1 のときは、自然対数が原始函数として生じる。 対数函数、底 b > 1 の指数函数および…

に付随する多項式函数は零値函数である。 零多項式 0（次数 −∞）の定める多項式函数は零函数である。 次数 0 の多項式函数を零次函数という。次数 0 の多項式は非零定数多項式ゆえ、零次函数は非零定数函数である。 次数 1 の多項式函数は一次函数である。略式では「高々一次」の意味で（つまり定数函数も含めて）「一次函数」と言う場合もある。…

そうすると、任意の一変数函数 g を含む函数 x2 + xy + g(y) 全体の成す集合が、x に関する偏微分で 2x + y となる二変数 x, y の函数全体の成す集合を表すことがわかる。 仮に一つの函数の任意の偏微分が（例えば勾配などによって）既知であるならば、上記のやり方で以て全ての偏原始函数…

り、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。 導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算（英: differentiation）と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）を反微分という。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同…

の適当な区間 (数学)上の定積分は、その区間上の実数値可積分函数の空間からの線型写像である。 不定積分（あるいは原始函数）は、得られる函数が積分定数の分だけ無数に存在するため、線型写像とみなすことはそのままではできない。 微分は可微分函数全体の成す空間から函数全体の成す空間への線型写像である。 確率変数 X の期待値…

に関する二階導函数は x = 0 を除く至る所存在して零に等しい（x = 0 では存在しない）。しかし超函数微分の意味での二階導函数はディラックデルタの二倍に等しい。 また絶対値函数は任意区間で可積分であり、その原始函数が ∫ | x | d x = 1 2 x | x | + C = 1 2 x 2 sgn ⁡…

\infty \})} が成り立つ。 したがって、零函数は実数直線全体で可積分な唯一の多項式函数である。零函数の原始函数は、不定積分の積分定数は任意にとれるから、零函数自身も含めた任意の定数函数によって与えられる。 零函数はコーシーの四つの函数方程式: f ( x + y ) = f ( x ) +…

上で定義された唯一の連続函数として定義することもできる。a ≠ 1 に対し、底 a の対数函数の逆函数であり、その意味でこれらを逆対数函数（真数函数）と呼ぶこともある。a = e のとき、自然指数・自然対数に対応する。自然指数函数は、自身の導函数に比例し、0 において値 1 をとる唯一の ℝ 上の可微分函数である。…

{dx}}^{j}=0} が成り立つ。 局所的には常にこの逆が成り立つ: 1-形式 A が dA = 0 を満足するならば、その点の適当な近傍において A の原始函数、すなわち可微分函数 f で A = df を満足するものが存在する。 ゆえに dA = 0 を可積分条件と呼ぶことがある。これは具体的には任意の i, j…

多重積分）は、一変数の実函数に対する定積分を多変数函数に対して拡張したものである。n-変数函数の重積分は n-重積分とも呼ばれ、二変数および三変数函数に対する重積分は、それぞれ特に二重積分 (double integral) および三重積分 (triple integral) と呼ばれる。 一変数の正値函数の定積分が、函数のグラフと…

函数の原始函数が高々定数の違いしか持たないのに対して、多変数函数の原始函数に変数を含む未知項が現れることは函数の振る舞いを劇的に変えてしまうのである。 逐次積分において、どの順番で積分を計算するかは重要なことである。例えば、計算順序が変われば結果も変わるということが、少し複雑な函数に対しては普通に起きる。…

ランベルトのW函数（ランベルトのWかんすう、英: Lambert W function）あるいはオメガ函数 (ω function)、対数積（product logarithm; 乗積対数）は、函数 f(z) = zez の逆関係の分枝として得られる函数 W の総称である。ここで、ez は指数函数、z は任意の複素数とする。すなわち、W…

もしくは、F = F2 であるとき、函数が原始的'であるという。dF = 1 ならば、F は原始的である。すべての S の函数 F ≠ 1 は原始的な函数で記述できるである。次に示すセルバーグの予想は、原始函数への分解が一意的であることを意味する。 原始的函数の例として、リーマンゼータ函数や原始…

y1), (x2, y2) から定まる式として述べたものの、一方を他方に近づけた極限に等しい。あるいはこれは一次函数に関する平均値の定理を述べたものと看做すこともできる。 また f の原始関数の一つは F ( x ) := a x 2 2 + b x {\displaystyle F(x):={\frac…

杉浦, 光夫『解析入門II』東京大学出版会〈基礎数学3〉、1985年。ISBN 978-4-13-062006-2。  ジョルダン測度 原始函数 Weisstein, Eric W. "Riemann Integral". mathworld.wolfram.com (英語). Riemann…

対数のこの定義は、負数や任意の非零複素数に対しても拡張することができる（ただし、それは多価函数を導く。複素対数函数の項を参照）。 実変数実数値の函数と見た自然対数函数 log は自然指数函数 exp の逆函数であり、それは二つの恒等式 exp(log(x)) = x (x > 0) と log(exp(x))…

数学、特に解析的整数論における函数等式（かんすうとうしき、functional equation）は、数論的な L-函数が持っていることを期待される特徴的性質のひとつであり、（未だ多く推測的な内容を含むけれども）「函数等式斯くあるべし」という精巧な理論が存在する。 例えばリーマンゼータ函数は、複素数 s と 1…