ホイーラー・ドウィット方程式

ホイーラー・ドウィット方程式（ホイーラー・ドウィットほうていしき、Wheeler‐DeWitt equation）は、理論物理学者ジョン・ホイーラー (John A. Wheeler) とブライス・ドウィット (Bryce DeWitt) によって構築された方程式。略して、WDW方程式ともいう。宇宙全体の波動関数が量子重力理論の中で満たすべき方程式である。そのような波動関数のひとつの例がハートル・ホーキング状態である。

単純にいえば、WDW方程式は

${\hat {H}}|\psi \rangle =0$

（ただし ${\hat {H}}$ は量子化された一般相対性理論における全ハミルトニアン制約条件）というものである。

記号 ${\hat {H}}$ および $|\psi \rangle$ は見慣れたものに見えるかもしれないが、それらのホイーラー・ドウィット方程式中での意味は非相対論的量子力学からはかなりの隔たりがある。 $|\psi \rangle$ はもはや伝統的な意味での空間的な波動関数 (i.e. 3次元の空間的面の上で定義されユニティについて正規化された複素関数) ではない。そうでなく、それは時空全体での場の構成についての汎関数である。この波動関数は宇宙の幾何学とそこに含まれる物質についての全情報を含む。 ${\hat {H}}$ は、なおも波動関数のヒルベルト空間で振る舞う演算子であるが、しかしそれは非相対論的な場合のヒルベルト空間と同じではなく、しかもハミルトニアンはもはや系の発展を決定しない ( よってシュレーディンガー方程式 ${\hat {H}}|\psi \rangle =i\hbar \partial /\partial t|\psi \rangle$ はもはや適用されない )。

実際、一般相対性理論における一般共変性原理は大局的発展がそれ自体存在しないことを含意する; $t$ は座標軸のひとつに私たちが当てはめる単なる標識である。つまり、私たちが任意の物理系の時間発展として考えることは、単なるゲージ変換であり、U(1) 局所ゲージ変換 $\psi \rightarrow e^{i\theta ({\vec {r}})}\psi$ ( ここで$\theta ({\vec {r}})$ は局所時間の役割を果たす )に誘導される量子電磁力学（QED）のそれと同様である。ハミルトニアンの役割は、単に、全宇宙の"運動学的"状態の空間をその"物理的"状態の空間(ゲージ軌道に従うもの)に制限することである。この条件を"ハミルトニアン制約条件"と呼ぶ。量子化の上では、物理的状態はハミルトニアン演算子の核内に置かれた波動関数になる。

一般にはハミルトニアンは一般共変性または時間のスケール不変性を持つ理論のために消失する。

関連項目

• 量子重力理論