関手
関手（かんしゅ、functor）とは、圏の間の対応付けのことであり対象関数と射関数の組からなるものである。
定義
共変関手
C および D を圏とする。C から D への関手、特に共変関手（きょうへんかんしゅ、covariant functor）F とは以下の性質を満たす対応をいう。
- C の各対象（object）X を D の各対象 F(X) に対応させる
- C における射（morphism） f : X → Y を D における射 F(f) : F(X) → F(Y) に対応させ、以下の性質を満たす
- 各対象 X ∈ C に対して F(idX) = idF(X)
- 任意の射 f: X → Y および g: Y → Z に対して F(g ○ f) = F(g) ○ F(f)
すなわち、関手に対して恒等射および射の合成を保存することが要請される。
反変関手
関手に似た形式を持ちながら、射を反転させる（合成を逆向きにする）ような対応が多数存在する。そこで、C から D への 反変関手（はんへんかんしゅ、contravariant functor）F が、各対象 X ∈ C を 対象 F(X) ∈ D に対応させ、各射 f: X → Y ∈ C を射 F(f): F(Y) → F(X) ∈ D に対応させるとき、以下の性質
- 全ての対象 X ∈ C において F(idX) = idF(X),
- 全ての射 f: X → Y および g: Y → Z に対して F(g ○ f) = F(f) ○ F(g)
を満たすものとして定義される。C から D への反変関手は C の双対圏 Cop から D の共変関手と見ることもできる。共変関手の概念だけによって全てを処理するために、F: C → D が反変関手であると言うかわりに、（共変）関手 F: Cop → D（場合によっては F: C → Dop）を用いて議論する著者もいる。
反変関手はまれに余関手（よかんしゅ、cofunctor）と呼ばれることもある。これは、圏論の文脈では普通「全ての矢印を逆向きにする」という意味の「余」という接頭辞の誤った利用法であるといえる。（共変）関手 F は射 f: X → Y を射 F(f): F(X) → F(Y) に対応させるものだが、ここで全ての矢印を逆向きにするなら射 f: X ← Y に射 F(f): F(X) ← F(Y) が対応することになる。これは結局のところ普通の共変関手の概念を表している。つまり関手とは自己双対的な概念であり、字義どおりにとらえるなら余関手と関手とは同じ概念を表している。
関手に対する様々な条件
以下 F: C → D を関手とする。
- 忠実関手と充満関手
- C の任意の対象 X, Y について F: HomC(X, Y) → HomD(FX, FY), f → F(f) が単射のとき F は忠実関手（ちゅうじつかんしゅ、faithful functor）だという。反対に、この対応が全射のとき F は充満関手（じゅうまんかんしゅ、full functor）だという。
- 随伴関手
- もう一つの関手 G: D → C について HomD(FX, Y) ≡ HomC(X, GY) となっているとき、F は G の左随伴関手（ひだりずいはんかんしゅ、left adjoint functor）であり、G は F の右随伴関手（みぎずいはんかんしゅ、right adjoint functor）であるという。
- 加法的関手
- それぞれの圏の hom-集合がアーベル群になっているとき、hom-集合の間の準同型を与えるような関手を加法的関手（かほうてきかんしゅ、additive functor）とよぶ。
- 完全関手
- 短完全列 を短完全列に写すような関手は完全関手（かんぜんかんしゅ、exact functor）とよばれる。完全関手は任意の完全系列を保つ。有限の極限のみを保つ関手は左完全（ひだりかんぜん、left exact）であるとよばれ、双対的に有限の余極限のみを保つ関手は右完全（みぎかんぜん、right exact）であるといわれる。
表現可能関手
圏 C の対象 X について HomC(-, X) や HomC(X, -) の形にかけるような C から Sets （または C の hom-集合の構造を表すしかるべき圏）への関手は表現可能関手（ひょうげんかのうかんしゅ、representable functor）とよばれる。米田の補題によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる。数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか、あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる。
特定の形の図式に関する極限は図式圏への対角埋め込み関手に対する右随伴関手として定式化できる。テンソル積や対象積、交代積は多重線形写像の関手を表現するような対象として定式化できる。
性質
関手の公理からの重要な帰結として
の二つがあげられる。
いかなる圏 C においても、恒等関手（こうとうかんしゅ、identity functor）1C が、どの対象も射もそれ自身へうつすものとして定まる。関手の合成を考えることもできる。つまり F が A から B への関手で G が B から C への関手であるとき、合成関手 GF は A から C への関手となる。関手の合成は、それが定義される限り結合的である。このことから、関手が圏の圏における射となることが示される。
唯一つの対象からなる圏は、射をその元とし、合成をその演算とするようなモノイドと同値である。圏と見なしたモノイドの間の関手はモノイドの準同型に他ならない。その意味で、勝手な圏の間の関手は、モノイドの準同型の、二つ以上の対象を持つ圏へのある種の一般化になっている。