関手

関手（かんしゅ、functor）とは、圏の間の対応付けのことである。関手は対象関数と射関数の組からなる。

定義

関手の性質

関手は合成することもできる。圏 A , B , C の間に関手

T : C → B 、 S : B → A

が与えられたとする。対象 C 、射 f について対象関数、射関数の合成を

C

\mapsto

S(T(C))、 f

\mapsto

S(T(f))

と定める。このときこの対象関数、射関数の合成から関手 S と T の合成（composite of S with T）

S・T : C → A

が定義される。また、関手の合成について恒等射の役割を果たし、各圏 C に対して一つ存在する関手 I_C : C → C を恒等関手（identity functor）と呼ぶ。

圏 C から B への関手 T : C → B で対象と射が全単射となる関手を、圏の間の同型射（isomorphism）と呼ぶ。言い換えれば、関手 T : C → B が同型射であるとは、T に対して両側逆関手（two-side inverse） T^-1 : B → C （すなわち、 T^-1・T = I_C、T・T^-1 = I_B となる）が存在することにほかならない。

参考文献

S.Eilenberg and S.MacLane (1942), NATURAL ISOMORPHISMS IN GROUP THEORY
S.Eilenberg and S.MacLane (1945), GENERAL THEORY OF NATURAL EQUIVALENCES
H.Cartan, S.Eilenberg, With an appendix by David A. Buchsbaum (1956). Homological algebra. Princeton University Press
S.MacLane (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8 邦題：『圏論の基礎』
Leo Corry. Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. ISBN 3764370025

定義

関手の性質

関連項目

参考文献