関手

関手（かんしゅ、functor）とは、圏の間の対応付けのことである。関手は対象関数と射関数の組からなる。関手は、ドメインの圏を図式スキームとみなせば図式（diagram）とみなすこともできる。

定義

重要な関手

hom関手（hom functor）

定関手（constant functor）

関手 F : C → D が圏 C の対象について圏 D の特定の対象 D を割り当て、圏 C の射について圏 D の対象 D の恒等射 1_D を割り当てるとき関手 F を定関手（constant functor）と呼ぶ。定関手は普遍性（universality）及び余普遍性（couniversality）を自然性（naturality）の一種として定式化するにあたって必要である。

関手の性質

関手は合成することができる。圏 A , B , C の間に関手

T : C → B 、 S : B → A

が与えられたとする。各対象 C 、各射 f について対象関数、射関数の合成を

C

\mapsto

S(T(C))、 f

\mapsto

S(T(f))

と定める。このときこの対象関数、射関数の合成から関手 S と T の合成（composite of S with T）

S・T : C → A

が定義される。また、関手の合成について恒等射の役割を果たし、各圏 C に対して一つ存在する関手 I_C : C → C を恒等関手（identity functor）と呼ぶ。

同型（isomorphism）: 圏 C から B への関手 T : C → B で対象と射が全単射となる関手を、圏の間の同型（isomorphism）と呼ぶ。つまり、関手 T : C → B が同型射であるとは、T に対して両側逆関手（two-side inverse） T^-1 : B → C （すなわち、 T^-1・T = I_C、T・T^-1 = I_B となる）が存在することを言う。
充満（full）: 関手 T : C → B が充満（full）であるとは、圏 C の対象の組 C, C' すべてと、圏 B の射 g : T C → T C' すべてについて、g = T f となる C の射 f : C → C' が少なくとも一つ存在することを言う。なお、充満関手の合成は充満関手となる。
忠実（faithfull）: 関手 T : C → B が忠実（faithful）または埋込み（embedding,imbedding）^[1]であるとは、圏 C の対象の組 C, C' すべてと、C の並行射 f₁,f₂ : C → C' すべてについて、T f₁ = T f₂ ならば f₁ = f₂ が成り立つことを言う。忠実関手の合成はやはり忠実関手となる。

関手に付与する保存性質

関手は圏の間の対応であるため、対象に対する恒等射の存在と射の合成という圏一般の性質を保存する。同様に、射や対象が特別の性質をもつならば、その性質を保存することが望ましい。関手の特別な性質保存性としては以下のものがよく用いられる。

正合（exact）

加法的（additive）

加法的圏（additive category）を A , B , C とし、関手を T : A ✕ B → C とする。A の任意の平行射 φ₁ , φ₂ : A → A' 及び B の任意の平行射 ψ₁ , ψ₂ : B → B'に対して以下の加法的性質の保存則を満たすとき T は加法的（additive）または加法的関手（additive functor）と呼ばれる。

加法的性質の保存: T(φ₁+φ₂,B) = T(φ₁,B) + T(φ₂,B); T(A,ψ₁+ψ₂) = T(A,ψ₁) + T(A,ψ₂)

導来（derived）

関手圏

圏 C から圏 B の関手 T : C → B を対象、それら関手の間の自然変換を射、射の合成を自然変換の垂直合成とするものは圏をなす^[2]。その圏を関手圏（functor category）と呼び^[3]、B^C（もしくは、Funct(C,B)）と表記する。この圏のhom集合は射が自然変換であることから

Nat(S,T) = hom_B^C(S,T)

が成り立つ。

脚注

^ 文献によっては埋込関手は、忠実であることに加えて対象の単射性が成り立つ必要があるという説明がされることがある。しかしながら、圏の定義における対象と恒等射の一対一対応から、忠実であれば対象の単射性も自動的に言うことができる。そのため、対象の単射性は不要な要件である。
^ 垂直合成は結合律 τ $\circ$ (σ $\circ$ υ) = (τ $\circ$ σ) $\circ$ υ を満たす。また、関手 T の恒等射ともいうべき恒等自然変換 1_T : T ${\dot {\rightarrow }}$ T が存在する。
^ 図式の圏（category of diagrams）とも呼ばれる。

参考文献

S.Eilenberg and S.MacLane (1942), Natural isomorphisms in group theory
S.Eilenberg and S.MacLane (1945), General Theory of Natural Equivalences
H.Cartan, S.Eilenberg, With an appendix by David A. Buchsbaum (1956). Homological algebra. Princeton University Press
S.MacLane (1998). Categories for the Working Mathematician. Graduate Texts in Mathematics 5 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-98403-8 邦題：『圏論の基礎』
Leo Corry. Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures. ISBN 3764370025

[1] 文献によっては埋込関手は、忠実であることに加えて対象の単射性が成り立つ必要があるという説明がされることがある。しかしながら、圏の定義における対象と恒等射の一対一対応から、忠実であれば対象の単射性も自動的に言うことができる。そのため、対象の単射性は不要な要件である。

[2] 垂直合成は結合律 τ $\circ$ (σ $\circ$ υ) = (τ $\circ$ σ) $\circ$ υ を満たす。また、関手 T の恒等射ともいうべき恒等自然変換 1_T : T ${\dot {\rightarrow }}$ T が存在する。

[3] 図式の圏（category of diagrams）とも呼ばれる。

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定義