対称双線型形式

対称双線型形式(symmetric bilinear form)は、ベクトル空間上の双線型形式であり、対称なものを言う。さらに単純には、ベクトル空間の元のペアをベクトル空間上の（スカラー）場へ写す函数で、函数の中のベクトル空間の元の順序は、写す場の元には影響を与えない。対称な双線型形式は、直交という方向性や二次曲面(quadrics)の研究に非常に重要である。

対称双線型形式は、「双線型」とした上でまさに対称形式という条件を加えたものであり、二次形式に密接に関連している。詳しくいえば、両者の間には差異があり、このことは、ε-二次形式を参照。

定義

V を体 K 上の n次元ベクトル空間とする。写像 $B:V\times V\rightarrow K:(u,v)\mapsto B(u,v)$ が、V 上で対称双線型形式とは、次の条件を満たすことである。

• $B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V$
• $B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V$
• $B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V$

最後の 2つの項目は、単に最初の項目の線型性を意味しているが、最初の項目より直ちに第二の項目の線型性も従う。

行列表現

$C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ を V の基底とし、n × n 行列 A を $A_{ij}=B(e_{i},e_{j})$ で定義する。行列 A は双線型形式のため対称行列となっている。n × 1 行列 x は、この基底についてベクトル v を表現し、同様に y は w を表現するとすると、$B(v,w)$ は、

$x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax$

により与えられる。C' を V の次のような他の基底とする。 ${\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S$ ここに S は可逆な n × n 行列とする。

ここで、対称双線型形式の新しい行列表現は次で与えられる。

$A'=S^{\mathsf {T}}AS.$

直交性と特異性

対称双線型形式は、いつでも反射的(reflexive)である。2つのベクトル v と w は、B(v, w) = 0 であれば、双線型形式 B に対して直交であることを定義する。反射性のおかげで、このことは B(w, v) = 0 と同値である。

双線型形式 B の根基(radical)は、V の中の全てのベクトルと直交するベクトルの集合である。この根基が V の部分ベクトル空間であることは、B の線型性からある議論を経て従う。ある基底について行列表現 A がうまく機能するとき、x で表現されている v が根基であることと次は同値である。

$Ax=0\Longleftrightarrow x^{\mathsf {T}}A=0.$

行列 A が特異とは、根基が非自明であることを言う。

W が V の部分集合であれば、その直交補空間 W^⊥ を W の全てのべクトルに直交する V の全てのベクトルの集合とする。この空間は V の部分空間で、B が非退化のとき、B の根基は自明で W^⊥ の次元は dim(W^⊥) = dim(V) − dim(W) である。

直交基底

基底 $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ は B について直交であることと、次は同値である。

$B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.$

体の標数が 2 でない場合には、V はいつも直交基底を持つ。このことは数学的帰納法により証明することができる。

基底 C が直交であることと、行列表現 A が対角行列であることは同値である。

符号とシルベスターの慣性法則

最も一般的な場合に、シルベスターの慣性法則は、順序体 K 上での行列では、固有値（対角要素の値）が 0 である個数、正である個数、負である個数は、直交基底の選択には依存しないと言っている。これらの 3つの数値は、双線型形式の符号数と呼ばれる。

参考文献

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992). Algebra: An Approach via Module Theory. Graduate Texts in Mathematics. 136. Springer-Verlag. ISBN 3-540-97839-9. Zbl 0768.00003 
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 
• Weisstein, Eric W. "Symmetric Bilinear Form". mathworld.wolfram.com (英語).