ゼータ函数 (作用素)
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変数の s に対し、上記の作用素の表現が存在する範囲で定義され、他の s の値に対してはこの函数の解析接続として表現される.ここに tr は函数のトレースを表す.
ゼータ函数は、次の式で作用素 の固有値 のスペクトルのゼータ函数(spectral zeta function)[1] としても表現できる.
- .
この式は汎函数行列式を厳密に定義することに使われる.作用素の行列式は
で与えられる.
ミナクシサンドラム-プレイジェルゼータ函数は、作用素がコンパクトリーマン多様体のラプラシアンの場合の例である.
また、この考え方は、ゼータ函数正規化や解析的トーションに適用される.
参考文献
- ^ Lapidus & van Frankenhuijsen (2006) "Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings" http://www.drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Fractal/FractalGeometryComplexDimensionsZetaFunctions.pdf p.23
- Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel (2006), Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings, Springer Monographs in Mathematics, New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-33285-5, Zbl 1119.28005
- Fursaev, Dmitri; Vassilevich, Dmitri (2011), Operators, Geometry and Quanta: Methods of Spectral Geometry in Quantum Field Theory, Theoretical and Mathematical Physics, Springer-Verlag, p. 98, ISBN 94-007-0204-3