対称双線型形式

線型代数学における対称双線型形式（たいしょうそうせんけいけいしき、英: symmetric bilinear form）は、ベクトル空間上の対称な双線型形式を言う。より簡単な言い方をすれば、ベクトル空間の元の対をその係数体の元へ写すような写像であって、その対の成分を並べる順番がその対がどの元へ写るかに影響を及ぼさないようなものである。対称な双線型形式は、直交極性や二次曲面の研究に非常に重要である。

文脈上、双線型形式について述べていると明らかな場合は、単に短く対称形式と呼ぶこともある。対称双線型形式は二次形式と近しい関係にあり、この両者の差異に関する詳細はε-二次形式の項目を参照。

定義

V を体 K 上の n次元ベクトル空間とする。写像 $B:V\times V\rightarrow K:(u,v)\mapsto B(u,v)$ が、V 上で対称双線型形式とは、次の条件を満たすことである。

• $B(u,v)=B(v,u)\ \quad \forall u,v\in V$
• $B(u+v,w)=B(u,w)+B(v,w)\ \quad \forall u,v,w\in V$
• $B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)\ \quad \forall \lambda \in K,\forall v,w\in V$

最後の 2つの項目は、単に最初の項目の線型性を意味しているが、最初の項目より直ちに第二の項目の線型性も従う。

行列表現

$C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ を V の基底とし、n × n 行列 A を $A_{ij}=B(e_{i},e_{j})$ で定義する。行列 A は双線型形式のため対称行列となっている。n × 1 行列 x は、この基底についてベクトル v を表現し、同様に y は w を表現するとすると、$B(v,w)$ は、

$x^{\mathsf {T}}Ay=y^{\mathsf {T}}Ax$

により与えられる。C' を V の次のような他の基底とする。 ${\begin{bmatrix}e'_{1}&\cdots &e'_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e_{1}&\cdots &e_{n}\end{bmatrix}}S$ ここに S は可逆な n × n 行列とする。

ここで、対称双線型形式の新しい行列表現は次で与えられる。

$A'=S^{\mathsf {T}}AS.$

直交性と特異性

対称双線型形式は、いつでも反射的(reflexive)である。2つのベクトル v と w は、B(v, w) = 0 であれば、双線型形式 B に対して直交であることを定義する。反射性のおかげで、このことは B(w, v) = 0 と同値である。

双線型形式 B の根基(radical)は、V の中の全てのベクトルと直交するベクトルの集合である。この根基が V の部分ベクトル空間であることは、B の線型性からある議論を経て従う。ある基底について行列表現 A がうまく機能するとき、x で表現されている v が根基であることと次は同値である。

$Ax=0\Longleftrightarrow x^{\mathsf {T}}A=0.$

行列 A が特異とは、根基が非自明であることを言う。

W が V の部分集合であれば、その直交補空間 W^⊥ を W の全てのべクトルに直交する V の全てのベクトルの集合とする。この空間は V の部分空間で、B が非退化のとき、B の根基は自明で W^⊥ の次元は dim(W^⊥) = dim(V) − dim(W) である。

直交基底

基底 $C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ は B について直交であることと、次は同値である。

$B(e_{i},e_{j})=0\ \forall i\neq j.$

体の標数が 2 でない場合には、V はいつも直交基底を持つ。このことは数学的帰納法により証明することができる。

基底 C が直交であることと、行列表現 A が対角行列であることは同値である。

符号とシルベスターの慣性法則

最も一般的な場合に、シルベスターの慣性法則は、順序体 K 上での行列では、固有値（対角要素の値）が 0 である個数、正である個数、負である個数は、直交基底の選択には依存しないと言っている。これらの 3つの数値は、双線型形式の符号数と呼ばれる。

実数の場合

実数上の空間の場合には、もう少し先へ進むことができる。$C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ を直交基底とする。

新しい直交基底を $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ とする。

$e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})=0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})>0\\{\frac {e_{i}}{\sqrt {-B(e_{i},e_{i})}}}&{\text{if }}B(e_{i},e_{i})<0\end{cases}}$

すると、新しい行列表現 A が対角上に 0, 1 と −1 のみを持つようになる。0 が現れる場合は、根基が非自明の場合のみでその時に限る。

複素数の場合

複素数の場合では、さらに先へ進むことができて、むしろ簡単になる。$C=\{e_{1},\ldots ,e_{n}\}$ を直交基底とする。

新しい基底を $C'=\{e'_{1},\ldots ,e'_{n}\}$ とする。

$e'_{i}={\begin{cases}e_{i}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})=0\\e_{i}/{\sqrt {B(e_{i},e_{i})}}&{\text{if }}\;B(e_{i},e_{i})\neq 0\\\end{cases}}$

すると、新しい行列表現 A は対角上では 0 と 1 の要素しかない対角行列となる。0 となることと、根基が非自明であることとは同値である。

直交偏極

B を標数が 2 以外の体 K の上の空間 V の自明な根基のみの対称双線型形式とすると、V の全ての部分空間の集合 D(V) からそれ自身への写像を次のように定義できる。

$\alpha :D(V)\rightarrow D(V):W\mapsto W^{\perp }.$

この写像を射影空間 PG(W) の直交偏極(orthogonal polarity)と言う。逆に、全ての直交偏極はこの方法で導出され、自明な根基を持つ 2つの対称双線型形式はが同じ偏極を持つこととそれらがスカラー倍となっていることとは同値である。

参考文献

• Adkins, William A.; Weintraub, Steven H. (1992). Algebra: An Approach via Module Theory. Graduate Texts in Mathematics. 136. Springer-Verlag. ISBN 3-540-97839-9. Zbl 0768.00003 
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 
• Weisstein, Eric W. "Symmetric Bilinear Form". mathworld.wolfram.com (英語).