ヘッケ作用素

ヘッケ作用素(ヘッケさようそ、Hecke operator)とは、ウェイト$k$の正則保型形式に作用する作用素。モーデル作用素を拡張して定義される。

定義

$f$をウェイト$k$の正則保型形式$M_{k}(\Gamma )$と仮定する。 (ただし、$\Gamma :=SL_{2}(Z)$である。) このとき、$m\geq 1$に対して、ヘッケ作用素$T_{k}(m):M_{k}(\Gamma )\rightarrow M_{k}(\Gamma )$は、

${\begin{aligned}(T_{k}(m)f)(z)&:=m^{k-1}\sum _{ad=m}\sum _{b=0}^{d-1}d^{-k}f\left({\frac {az+b}{d}}\right)\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n}\\&=\sigma _{k-1}(m)a(0,f)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}a\left({\frac {mn}{d^{2}}},f\right)\right)q^{n},\end{aligned}}$

によって定義される 。 ただし、$\sigma _{k}(n):=\sum _{d|n}d^{k}$、また、$a(n,f)$は 正則保型形式$f$のフーリエ係数である。

$f=\sum _{n=0}^{\infty }a(n,f)q^{n}.$

ヘッケ環

作用素$T_{k}(m)$は関係式

$T_{k}(m)T_{k}(n)=T_{k}(n)T_{k}(m)=\sum _{d|(m,n)}d^{k-1}T_{k}\left({\frac {mn}{d^{2}}}\right),$

を満足するので、$\mathbb {T} _{k}:=\mathbb {C} \left[T_{k}(m)|m=1,2\cdots \right]$は可換な$\mathbb {C}$ 代数を構成する。この$\mathbb {T} _{k}$をヘッケ環と呼ぶ。 (ただし、ヘッケ環は、制限を加えたものや、局所的な類似など他にもいろいろとある。)