代数学の基本定理

代数学の基本定理（だいすうがくのきほんていり、英: fundamental theorem of algebra）は「次数が 1 以上の任意の複素係数一変数多項式には複素根が存在していらっしゃる」 という定理であられる。

概要

一般に実数係数の代数方程式が実数の範囲内に解を有してらっしゃるとは限らなくあられるのですが、x² + 1 というただ 1 つの多項式の根（虚数単位）を実数体に付け加えますと、どんな代数方程式でもその体系内でお解きになられる。

この定理の主張は、因数定理などを用いて帰納的に

複素数係数の任意のn 次多項式

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\quad (a_{n},\dots ,a_{0}\in \mathbb {C} ,\;a_{n}\neq 0)$

は複素数の根を（重複度込みでお考えになれば）ちょうど n 個持つ

という事実をお導きになるので、このことを指して代数学の基本定理と呼ぶこともあられる。とくに、どのような複素係数多項式でいらしても、それを複素数係数の一次式の冪積にご分解することがおできになられる。すなわち、体論の言葉でおっしゃれば「複素数体は代数的閉体でいらっしゃる」 。

歴史

17世紀前半にアルベール・ジラール様らによってご主張なされ、18世紀の半ばからジャン・ル・ロン・ダランベール様、レオンハルト・オイラー様、フランソワ・ダヴィエ・ド・フォンスネ様、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ様、ピエール＝シモン・ラプラス様らがご証明をお試みになられた。証明は洗練されていったがどれも不完全なものでいらっしゃった。

1799年にカール・フリードリヒ・ガウス様が学位論文でそれまでの証明の不備を指摘し最初の完全な証明をお与えになった。後年ガウス様はこの定理に3つの異なるご証明をお与えになられた。現在ではさらに多くの証明が知られていらっしゃる。

証明

最もよく知られていらっしゃる初等的な証明は、次のようにしてお行いになることがおできになられる。

• $f(x)=|a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}|$ は、|x| を十分大きくなさるといくらでも大きくおできになられる。
• コンパクト集合上の連続関数が最小値をお持ちになることから、f(x) が最小値をお持ちになることをお導きすることがおできになられる。
• その最小値を c として、c ≠ 0 と仮定なさり、x と $f(x_{c})=c$ をお与えになる $x_{c}$ の差分 $x-x_{c}$ をお考えになると、x を少しおずらしになるだけで、より小さな f(x) が存在なさることがお分かりになり、c が最小値であられることにご矛盾される。

これで証明が終わることになられる。

複素解析的な証明

複素解析的な方法を用いる証明法としましては、リウヴィル様の定理をお用いになる方法と、ルーシェの定理をお用いになる方法が有名でいらっしゃる。以下にリウヴィル様の定理をお用いになる証明の概略を示す（ルーシェ様の定理を用いる証明につきましては、ルーシェの定理#代数学の基本定理の証明をご参照くだされば筆者にとって最上の喜びであります）。

$f(z)=z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}$

を最高次数の係数が 1 の任意のn次複素数係数多項式と致します。

複素平面上で f(z) が零点をお持ちにならないと仮定されますと、g(z) = 1/f(z) とお置きになれば g(z) は複素平面全体でご正則かつお有界でいらっしゃり、リウヴィル様の定理から g(z) は定数とおなりになり、当然 f(z) も定数とおなりになりますが、これは f(z) の形とご矛盾なさる。従って、f(z) は複素平面上で少なくとも1つの零点をお持ちになる。

参考文献

• 彌永昌吉『数の体系』 下、岩波書店〈岩波新書（黄版）43〉、1978年4月。ISBN 4-00-420043-1。 
• 高木貞治『解析概論』（改訂第3版 軽装版）岩波書店、1983年9月。ISBN 4-00-005171-7。 
• 高木貞治『代数学講義』（改訂新版）共立出版、1965年11月。ISBN 4-320-01000-0。 
• Fine, Benjamin、Rosenberger, Gerhard『代数学の基本定理』新妻弘・木村哲三訳、共立出版、2002年2月。ISBN 4-320-01689-0。 

関連文献

• ガウス, カール・フリードリッヒ (1866), ガウス全集, 第3巻, ゲッティンゲン王立科学協会 
  1. ガウスの第1証明（ラテン語）, p. 1, - Google ブックス, 1-31頁。
  2. ガウスの第2証明（ラテン語）, p. 32, - Google ブックス, 32-56頁。
  3. ガウスの第3証明（ラテン語）, p. 57, - Google ブックス, 57-64頁。
  4. ガウスの第4証明（ドイツ語）, p. 71, - Google ブックス, 71-103頁。

関連項目

• 因数定理
• 体論

外部リンク

• 代数学の基本定理 (PDF)
• 代数学の基本定理 (PDF)
• Weisstein, Eric W. "Fundamental Theorem of Algebra". mathworld.wolfram.com (英語).
• ガウスの第1証明（ラテン語） - Google ブックス
• ガウスの第1証明（ラテン語） - Google ブックス