定理

△ABCに正方形ABB'A",BCC'B",CAA'C"が外接しているとき、

△ABC=△AA'A"=△BB'B"=△CC'C"

である。

証明

△ABCに正方形ABB'A",BCC'B",CAA'C"が外接しているとき、

△ABCの内角で∠BAC=α

△AA'A"の内角で∠A'AA"=α'

△ABC=S,AC=AA'=b,AB=AA"=c

とする。

$\bigtriangleup ABC=S={\frac {1}{2}}AC\cdot AB\ sin\ \alpha$

なので、

$sin\ \alpha ={\frac {2S}{bc}}$ 　(1)

と表せる。

仮定より、

∠A'AC+α+∠A"AB+α'=360°

正方形なので

90°+α+90°+α'=360°

α+α'=180°

α'=180°-α

sin α'=sin(180°-α)

sin α'=sin α　 (2)

(1)(2)より、△AA'A"の面積は、

${\begin{aligned}\bigtriangleup AA'A''&={\frac {1}{2}}AA'\cdot AA''sin\ \alpha '\\&={\frac {1}{2}}bc\cdot {\frac {2S}{bc}}=S\end{aligned}}$

同様に

△BB'B"=S

△CC'C"=S

依って、

△ABC=△AA'A"=△BB'B"=△CC'C"

は示された。