양자장론 에서 등각 대칭 (等角對稱, 영어 : conformal symmetry )은 양자장론 이 가질 수 있는 대칭의 하나이다.[ 1] 대략, 이 대칭을 가진 이론은 특별한 길이 눈금을 갖지 않고, 모든 길이 눈금이 동등하다. 등각 대칭을 갖는 양자장론 을 등각 장론 이라 한다.
d 차원 민코프스키 공간 의 등각 대칭군 은
SO
(
d
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (d,2)}
이다. 이는 푸앵카레 군
ISO
(
d
−
1
,
1
)
{\displaystyle \operatorname {ISO} (d-1,1)}
을 부분군 으로 포함한다.
μ
,
ν
,
⋯
∈
{
1
,
2
,
…
,
d
}
{\displaystyle \mu ,\nu ,\dots \in \{1,2,\dots ,d\}}
라고 할 때, 등각 대칭군의 생성원들은 다음과 같다.
기호
이름
성분 수
등각 차원
M
μ
ν
{\displaystyle M_{\mu \nu }}
회전 및 로런츠 변환
d
(
d
−
1
)
/
2
{\displaystyle d(d-1)/2}
0
P
μ
{\displaystyle P_{\mu }}
병진 변환
d
{\displaystyle d}
+1
D
{\displaystyle D}
확대 변환
1
0
K
μ
{\displaystyle K_{\mu }}
특수 등각 변환(영어 : special conformal transformation )
d
{\displaystyle d}
−1
이 가운데
M
{\displaystyle M}
만 남기면 로런츠 군 ,
M
{\displaystyle M}
과
P
{\displaystyle P}
만 남기면 푸앵카레 군 이 된다.
등각 대칭군의 리 대수 는 다음과 같다.[ 1] :(4.19)
[
D
,
K
μ
]
=
−
i
K
μ
{\displaystyle [D,K^{\mu }]=-iK^{\mu }}
[
D
,
P
μ
]
=
i
P
μ
{\displaystyle [D,P_{\mu }]=iP_{\mu }}
[
K
μ
,
P
ν
]
=
2
i
(
η
μ
ν
D
−
M
μ
ν
)
{\displaystyle [K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })}
[
K
μ
,
M
ν
ρ
]
=
i
(
η
μ
ν
K
ρ
−
η
μ
ρ
K
ν
)
{\displaystyle [K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })}
[
P
ρ
,
M
μ
ν
]
=
i
(
η
ρ
μ
P
ν
−
η
ρ
ν
P
μ
)
{\displaystyle [P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })}
[
M
μ
ν
,
M
ρ
σ
]
=
i
(
η
ν
ρ
M
μ
σ
+
η
μ
σ
M
ν
ρ
−
η
μ
ρ
M
ν
σ
−
η
ν
σ
M
μ
ρ
)
{\displaystyle [M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })}
여기서
η
μ
ν
{\displaystyle \eta _{\mu \nu }}
는 민코프스키 계량 텐서 이다. 나머지 리 괄호들은 모두 0이다.
방사 양자화(영어 : radial quantization ) 아래, 등각 대칭 생성원의 에르미트 수반은 다음과 같다. (등각 장론 에 대하여 통상적으로 쓰이는 방사 양자화에서의 에르미트 수반은 일반 양자장론에 쓰이는 양자화에서의 에르미트 수반과 다르다.)
D
†
=
−
D
{\displaystyle D^{\dagger }=-D}
(
P
μ
)
†
=
K
μ
{\displaystyle (P_{\mu })^{\dagger }=K^{\mu }}
(
M
μ
ν
)
†
=
M
μ
ν
{\displaystyle (M_{\mu \nu })^{\dagger }=M^{\mu \nu }}
등각 대칭군이
SO
(
d
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (d,2)}
임을 보이기 위해서, 다음을 정의하자.
M
−
1
,
0
=
D
{\displaystyle M_{-1,0}=D}
M
−
1
,
μ
=
1
2
(
P
μ
−
K
μ
)
{\displaystyle M_{-1,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }-K_{\mu })}
M
0
,
μ
=
1
2
(
P
μ
+
K
μ
)
{\displaystyle M_{0,\mu }={\frac {1}{2}}(P_{\mu }+K_{\mu })}
그렇다면, 지표
M
,
N
∈
{
−
1
,
0
,
1
,
…
,
d
}
{\displaystyle M,N\in \{-1,0,1,\dots ,d\}}
에 대하여
M
M
,
N
{\displaystyle M_{M,N}}
은
SO
(
d
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (d,2)}
의 표준적인 생성원을 이룬다.
[
M
M
N
,
M
P
Q
]
=
i
(
η
M
Q
J
N
P
+
η
N
P
J
A
Q
−
η
M
P
M
N
Q
−
η
N
Q
J
M
P
)
{\displaystyle [M_{MN},M_{PQ}]=i(\eta _{MQ}J_{NP}+\eta _{NP}J_{AQ}-\eta _{MP}M_{NQ}-\eta _{NQ}J_{MP})}
(
M
M
N
)
†
=
M
M
N
{\displaystyle (M_{MN})^{\dagger }=M^{MN}}
여기서
η
−
1
,
−
1
=
−
1
{\displaystyle \eta _{-1,-1}=-1}
η
0
,
0
=
1
{\displaystyle \eta _{0,0}=1}
이다.
등각 대칭은 스칼라장에 대하여 다음과 같이 표현된다.[ 1] :98, (4.18)
M
μ
ν
≡
i
(
x
μ
∂
ν
−
x
ν
∂
μ
)
{\displaystyle M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })}
P
μ
≡
−
i
∂
μ
{\displaystyle P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }}
D
≡
−
i
x
μ
∂
μ
{\displaystyle D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }}
K
μ
≡
i
(
x
2
∂
μ
−
2
x
μ
x
ν
∂
ν
)
{\displaystyle K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })}
4차원의 경우, 등각 대칭군
SO
(
4
,
2
)
∼
SU
(
2
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {SO} (4,2)\sim \operatorname {SU} (2,2)}
의 모든 양 에너지 유니터리 표현들이 분류되었다.[ 2] [ 3]