추상대수학 에서 미분 대수 (微分代數, 영어 : differential algebra )는 곱 규칙 을 만족하는 자기 선형 변환 이 갖추어진 결합 대수 이다. 해석학 에서의 미분 연산을 공리화한 개념이다.
정의
미분
다음이 주어졌다고 하자.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
위의 결합 대수
(
A
,
+
,
0
A
,
⋅
,
1
A
)
{\displaystyle (A,+,0_{A},\cdot ,1_{A})}
(
A
,
A
)
{\displaystyle (A,A)}
-쌍가군
A
M
A
{\displaystyle _{A}M_{A}}
. 또한, 왼쪽과 오른쪽
K
{\displaystyle K}
-작용이 서로 일치한다고 하자 (
k
m
=
m
k
∀
m
∈
M
,
k
∈
K
{\displaystyle km=mk\;\forall m\in M,\;k\in K}
). (다시 말해,
M
{\displaystyle M}
은
A
e
=
A
⊗
K
A
op
{\displaystyle A^{\operatorname {e} }=A\otimes _{K}A^{\operatorname {op} }}
위의 왼쪽 가군 이다.)
그렇다면,
M
{\displaystyle M}
값의,
A
{\displaystyle A}
위의 미분 (微分, 영어 : derivation )은 다음과 같은
K
{\displaystyle K}
-선형 변환 이다.
∂
:
A
→
M
{\displaystyle \partial \colon A\to M}
이는 다음과 같은 곱 규칙 을 만족시켜야 한다.
∂
(
a
b
)
=
(
∂
a
)
b
+
a
(
∂
b
)
∀
a
,
b
∈
A
{\displaystyle \partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)\qquad \forall a,b\in A}
흔히,
A
M
A
=
A
A
A
{\displaystyle _{A}M_{A}={}_{A}A_{A}}
를 사용한다.
미분 대수
미분 대수
(
K
,
A
,
∂
)
{\displaystyle (K,A,\partial )}
는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
가환환
K
{\displaystyle K}
K
{\displaystyle K}
위의 결합 대수
(
A
,
+
,
0
A
,
⋅
,
1
A
)
{\displaystyle (A,+,0_{A},\cdot ,1_{A})}
미분을 이루는 자기 사상
∂
:
A
→
A
{\displaystyle \partial \colon A\to A}
. (이는 결합 대수 준동형이 될 필요가 없다.)
특히, 정수환
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
위의 결합 대수 는 환 이므로, 만약
K
=
Z
{\displaystyle K=\mathbb {Z} }
(정수환 )인 경우, 그 위의 미분 대수를 미분환 (微分環,영어 : differential ring )이라고 한다. 또한,
K
=
Z
{\displaystyle K=\mathbb {Z} }
이며
A
{\displaystyle A}
가 체 를 이루는 경우,
(
K
,
A
,
∂
)
{\displaystyle (K,A,\partial )}
를 미분체 (微分體, 영어 : differential field )라고 한다.
만약 미분 대수의 개념에, 등급 을 주어 일반화하면 미분 등급 대수 의 개념을 얻는다.
미분 대수 준동형
같은 가환환
K
{\displaystyle K}
위의 두 미분 대수
A
{\displaystyle A}
,
B
{\displaystyle B}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 미분 대수 준동형 (微分代數準同形, 영어 : differential algebra homomorphism )은 대수 구조 로서의 준동형 이다. 즉,
K
{\displaystyle K}
-결합 대수 준동형
f
:
A
→
B
{\displaystyle f\colon A\to B}
가 다음 조건들을 만족시킨다면, 미분 대수 준동형을 이룬다.
f
(
∂
a
)
=
∂
f
(
a
)
∀
a
∈
A
{\displaystyle f(\partial a)=\partial f(a)\qquad \forall a\in A}
미분체 확대 (微分體擴大, 영어 : differential field extension )는 두 미분체 사이의 미분 대수 준동형이다. 이는 체의 확대 이므로 항상 단사 함수 이다.
예
교환자
가환환
K
{\displaystyle K}
위의 결합 대수
A
{\displaystyle A}
의 원소
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 교환자
[
a
,
−
]
:
b
↦
[
a
,
b
]
=
a
b
−
b
a
{\displaystyle [a,-]\colon b\mapsto [a,b]=ab-ba}
를 정의한다면
(
K
,
A
,
[
a
,
−
]
)
{\displaystyle (K,A,[a,-])}
는 다음과 같이 미분 대수를 이룬다.
[
a
,
b
c
]
=
a
b
c
−
b
c
a
=
a
b
c
−
b
a
c
+
b
a
c
−
b
c
a
=
[
a
,
b
]
c
+
b
[
a
,
c
]
{\displaystyle [a,bc]=abc-bca=abc-bac+bac-bca=[a,b]c+b[a,c]}
다항식환
환
R
{\displaystyle R}
가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다항식환
R
[
x
]
{\displaystyle R[x]}
위에 다음과 같은 선형 변환
∂
:
R
[
x
]
→
R
[
x
]
{\displaystyle \partial \colon R[x]\to R[x]}
을 정의할 수 있다.
∂
:
r
x
n
↦
{
n
r
x
n
−
1
n
>
0
0
n
=
0
∀
r
∈
R
,
n
∈
N
{\displaystyle \partial \colon rx^{n}\mapsto {\begin{cases}nrx^{n-1}&n>0\\0&n=0\end{cases}}\qquad \forall r\in R,\;n\in \mathbb {N} }
그렇다면
(
R
,
R
[
x
]
,
∂
)
{\displaystyle (R,R[x],\partial )}
는 미분 대수를 이룬다.
매끄러운 함수
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
그렇다면,
M
{\displaystyle M}
위의 실수 값 매끄러운 함수 들의 집합
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
를 생각하자. 이는 실수 벡터 공간 을 이루며, 또한 점별 합과 곱에 대하여 실수 결합 대수 를 이룬다.
벡터장은
C
∞
(
M
;
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} )}
위에 미분 연산자로 작용한다. 국소 좌표계로 표현하면 다음과 같다.
X
f
=
X
μ
∂
μ
f
{\displaystyle Xf=X^{\mu }\partial _{\mu }f}
그렇다면,
(
R
,
C
∞
(
M
;
R
)
,
X
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {C}}^{\infty }(M;\mathbb {R} ),X)}
는 미분 대수를 이룬다.
리 대수
가환환
K
{\displaystyle K}
위의 리 대수
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
가 주어졌다고 하자.
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
위의 미분
∂
:
g
→
g
{\displaystyle \partial \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}
은 다음 조건을 만족시키는
K
{\displaystyle K}
-선형 변환 이다.
∂
[
a
,
b
]
=
[
∂
a
,
b
]
+
[
a
,
∂
b
]
{\displaystyle \partial [a,b]=[\partial a,b]+[a,\partial b]}
이 경우,
∂
{\displaystyle \partial }
은
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
의 보편 포락 대수
U
(
g
)
{\displaystyle \operatorname {U} ({\mathfrak {g}})}
위에 자연스럽게 다음과 같이 확장된다.
∂
a
1
a
2
⋯
a
k
=
∑
i
=
1
k
a
1
⋯
a
i
−
1
(
∂
a
i
)
a
i
+
1
⋯
a
k
(
k
∈
N
,
a
1
,
…
,
a
k
∈
g
)
{\displaystyle \partial a_{1}a_{2}\cdots a_{k}=\sum _{i=1}^{k}a_{1}\cdots a_{i-1}(\partial a_{i})a_{i+1}\cdots a_{k}\qquad (k\in \mathbb {N} ,\;a_{1},\dots ,a_{k}\in {\mathfrak {g}})}
그렇다면,
(
K
,
U
(
g
)
,
∂
)
{\displaystyle (K,\operatorname {U} ({\mathfrak {g}}),\partial )}
는 미분 대수를 이룬다.
같이 보기
참고 문헌
외부 링크