조밀 집합
일반위상수학에서 조밀 집합(稠密集合, 영어: dense set)은 어떤 공간을 ‘조밀하게’ 채우는 부분 집합이다. 즉, 공간 속의 임의의 점을, 조밀 집합에 속하는 점들의 그물의 극한으로 나타낼 수 있다. 예를 들면 유리수의 집합은 실수선의 조밀 집합이다. 왜냐하면, 어떤 실수를 골라도 이에 수렴하는 유리수의 수열을 언제나 생각할 수 있기 때문이다. (그물을 점렬로 대체한 조건은 보다 강한 조건이지만, 제1 가산 공간에서 두 조건은 서로 동치이다.)
정의
위상 공간 의 부분 집합 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 조밀 집합이라고 한다.
- 임의의 열린집합 에 대하여, 만약 라면 이다.
- 임의의 닫힌집합 에 대하여, 만약 라면 이다.
- .[1]:191, §30[2]:7, §1 여기서 은 폐포이다.
- . 여기서 는 내부이다.
- 모든 및 의 모든 근방 에 대하여, .
- 의 모든 점들은 의 원소이거나 의 극한점이다.[2]:7, §1
성질
연산에 대한 닫힘
임의의 위상 공간 속의 조밀 집합 및 에 대하여, 역시 의 조밀 집합이다. 다시 말해, 조밀 집합들의 집합족 은 의 멱집합 속의 상집합이다.
특히, 조밀 집합들의 합집합은 조밀 집합이다. 그러나 조밀 집합들의 교집합이 조밀 집합일 필요는 없다. 다만, 임의의 조밀 집합 와 조밀 열린집합 가 주어졌을 때, 그 교집합 는 조밀 집합이다.
특히, 조밀 열린집합들의 족 은 유한 교집합에 대하여 닫혀 있어, 멱집합 속의 필터를 이룬다.
임의의 두 위상 공간 , 사이의 전사 연속 함수 가 주어졌을 때, 조밀 집합 의 상 역시 조밀 집합이다.
조밀성은 추이적이다. 즉, 만약 이며, 가 의 조밀 집합이고 가 의 조밀 집합이라면 는 의 조밀 집합이다.
증명:
가 의 열린집합이며 라고 하자. 그렇다면 는 의 열린집합이며, 이다. 가 의 조밀 집합이므로 이다. 즉, 이다. 가 의 조밀집합이므로 이다.
함의 관계
모든 조밀 열린집합은 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합이다. (그러나 그 역은 성립하지 않는다.) 즉, 다음 함의 관계가 성립한다.
- 조밀 열린집합 ⇒ 조밀한 곳이 없는 집합의 여집합 ⇒ 제1 범주 집합의 여집합 ⇒ 준열린집합
조밀 집합은 연속 함수를 결정한다
임의의 위상 공간 와 하우스도르프 공간 및 조밀 집합 와 두 연속 함수 가 주어졌다고 하자. 만약 라면, 이다. (여기서 은 함수의 제한을 뜻한다.)
증명:
예
위상 공간 는 스스로의 조밀 집합이다. 반면, 전체가 아닌 의 모든 닫힌집합은 의 조밀 집합이 아니다.
유한 부분 집합의 여집합
자기 조밀 T1 공간 속에서, 임의의 유한 부분 집합의 여집합은 조밀 열린집합이다.
증명:
이산 공간
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 이산 공간이다.
- 정확히 1개의 조밀 집합을 갖는다. (이는 물론 전체이다.)
증명:
비이산 공간
위상 공간 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
증명:
비이산 공간 에서 공집합이 아닌 모든 부분 집합이 조밀 집합이라는 것은 자명하다. 반대로, 가 비이산 공간이 아니라고 하자. 즉, 닫힌집합 가 존재한다고 하자. 그렇다면 는 조밀 집합이 아니다.
실수선의 조밀 집합
실수선 의 부분 집합들을 생각하자.
임의의 세 실수 에 대하여, 는 안의 조밀 집합이다.
각주
- ↑ Munkres, James R. (2000). 《Topology》 (영어) 2판. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-181629-9. MR 0464128. Zbl 0951.54001.
- ↑ 가 나 Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1978). 《Counterexamples in topology》 (영어) 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-6290-9. ISBN 978-0-387-90312-5. MR 507446. Zbl 0386.54001.
외부 링크
- “Dense set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Dense”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Dense subspace”. 《nLab》 (영어).
- “Definition: everywhere dense”. 《ProofWiki》 (영어).