복소해석학에서 피카르의 대정리(영어: Picard’s great theorem)와 피카르의 소정리(영어: Picard’s little theorem)는 정칙 함수의 특이점 근처에서의 상에 대한 정리다.
리만 곡면
및 점
가 주어졌다고 하고, 정칙 함수
![{\displaystyle f\colon \Sigma \setminus \{z_{0}\}\to {\widehat {\mathbb {C} }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82545ce4348b817a943d026eb3d489d777c76df9)
가
에서 본질적 특이점을 갖는다고 하자. 피카르의 대정리에 따르면, 다음 성질을 만족시키는 두 점
이 존재한다.
- 임의의 근방
및 임의의
에 대하여,
인
가 존재한다.
피카르의 소정리에 따르면, 만약
가 정칙 함수라면, 다음 세 명제 가운데 하나가 성립한다.
![{\displaystyle f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ad7c046e60a91d64e26ab44adc4c7a59415868)
![{\displaystyle \exists w_{0}\in \mathbb {C} \colon f(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \setminus \{w_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad07399648cfc543569b40c56d33b9f4a0844ba)
![{\displaystyle \exists w_{0}\in \mathbb {C} \colon f(\mathbb {C} )=\{w_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a4af596d6abc63e443a797892d9834668d7511)
이는 리우빌 정리를 강화한 것이다.
피카르의 소정리는 피카르의 대정리의 따름정리이다. 즉,
이며
라고 하자. 그렇다면
는 무한대에서의 성질에 따라 다음과 같은 세 가지 경우로 분류된다.
- 만약
가 무한대에서 정칙 함수라면, 리우빌 정리에 따라
는 상수 함수이다.
- 만약
가 무한대에서 극점을 갖는다면,
는 다항식이다. 이 경우 대수학의 기본정리에 따라
이다.
- 만약
가 무한대에서 본질적 특이점을 갖는다면, 피카르의 대정리에 따라
의 꼴이며,
이므로
로 놓을 수 있다.
함수
는
에서 본질적 특이점을 갖는다. 이 경우, 피카르의 대정리에 의하여 존재하는 두 값들은
![{\displaystyle \{w_{1},w_{2}\}=\{0,{\widehat {\infty }}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e98ff12b9f535256c6fa82a040c5ef8cc772cfc)
이다.
위 예에 뫼비우스 변환을 가해,
가 임의의 값을 갖는 예를 찾을 수 있다.
에밀 피카르의 이름을 땄다.