Liczby zespolone

Liczby zespolone można rozumieć jako pewne rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych. Podobnie jak one tworzą ciało. Ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym, co oznacza, że każdy wielomian o współczynnikach z ciała liczb zespolonych ma w nim pierwiastki. Własności tej nie ma ciało liczb rzeczywistych, w którym np. równanie $x^{2}=-1$ nie ma rozwiązań (w ciele liczb zespolonych są nimi $i$ oraz $-i$ , o których niżej).

Ciało liczb zespolonych jest ponadto najmniejszym ciałem algebraicznie domkniętym zawierającym liczby rzeczywiste. Powiemy, że ciało liczb zespolonych jest domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych.

Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie $i$ nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzory Cardano na pierwiastki równania 3. stopnia). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od wynalezienia.

Podstawowe oznaczenia

Każdą liczbę zespoloną można przedstawić w postaci a+bi, gdzie a oraz b są liczbami rzeczywistymi, natomiast i obiektem o takiej własności, że i²= -1. Przy tym i nazywamy jednostką urojoną, a częścią rzeczywistą, zaś b częścią urojoną liczby zespolonej a+bi. Spotykany jest czasami zapis $i={\sqrt {-1}}$ , który obecnie uznawany jest za niepoprawny.

Przy tej interpretacji "zwykłe" liczby rzeczywiste utożsamiamy z liczbami zespolonymi o części urojonej równej 0: a=a+0i.

W elektronice i pokrewnych dziedzinach, jednostka urojona jest często zapisywana jako $j$ , żeby uniknąć pomyłek z wartością chwilową prądu elektrycznego tradycyjnie oznaczaną przez $i$ .

Stosuje się też oznaczenia:

Plik:Zesp.png

Re z jako część rzeczywista liczby zespolonej z,
Im z jako część urojona liczby z,
arg z jako tzw. argument liczby zespolonej (kąt między osią rzeczywistą a promieniem wodzącym punktu reprezentującego daną liczbę zespoloną).
|z| jako tzw. moduł liczby zespolonej (uogólnienie modułu liczby rzeczywistej).

Zachodzą związki:

|z|={\sqrt {{\mbox{Re}}^{2}z+{\mbox{Im}}^{2}z}}

\cos \arg z={\frac {{\mbox{Re }}z}{|z|}}

\sin \arg z={\frac {{\mbox{Im }}z}{|z|}}

Gdy |z|=0, argument jest nieoznaczony. Wartością główną argumentu nazywamy argument w przedziale $-\pi <\arg(z)\leq \pi$ .

Postacie liczby zespolonej

Liczbę zespoloną można przedstawić w kilku postaciach:

Postać algebraiczna:

z={\mbox{Re }}z+i{\mbox{Im }}z

Postać trygonometryczna:

z=|z|(\cos \arg z+i\sin \arg z)

Postać wykładnicza:

z=|z|e^{i\arg z}

Przykład:
Liczbę $1+i{\sqrt {3}}$ można przedstawić jako:

$1+i{\sqrt {3}}$ (postać algebraiczna)
$2(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}})$ (postać trygonometryczna)
$2e^{\frac {\pi i}{3}}$ (postać wykładnicza)

Operacje na liczbach zespolonych

Dodawanie, odejmowanie i mnożenie liczb zespolonych wykonuje się tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, należy tylko pamiętać o własności i²= -1.

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
(a+bi)·(c+di)=ac+(bc+ad)·i + bdi²=(ac-bd)+(bc+ad)·i.

Dzielenie liczb zespolonych: ${\frac {a_{1}+b_{1}i}{a_{2}+b_{2}i}}={\frac {a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}+{\frac {a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2}}{a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}i$

Geometryczna interpretacja liczby zespolonej

Interpretacja liczb zespolonych jako wektorów na płaszczyźnie, dla których w specjalny sposób określono mnożenie znana była już pod koniec XVIII wieku, choć ostatecznie przypisuje się ją Argandowi.

Od Hamiltona pochodzi natomiast formalne określenie liczb zespolonych jako zbioru R², w którym określono dodawanie i mnożenie par liczb rzeczywistych <a, b> wzorami:

<a,b>+<c,d>=<a+c,b+d>
<a,b>·<c,d>=<ac-bd,bc+ad>.

W tej konstrukcji zbiór liczb rzeczywistych utożsamiamy ze zbiorem wszystkich par postaci <a,0>.

Z interpretacji geometrycznej wywodzi się wspomniana wyżej reprezentacja liczby zespolonej a+bi za pomocą modułu i argumentu. Moduł liczby zespolonej, albo inaczej wartość bezwzględna, to długość wektora reprezentującego daną liczbę, zaś argument to kąt między osią x a danym wektorem mierzony przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy 0 (liczby dodatnie) lub π (liczby ujemne). Argument liczby 0 nie jest określony.

Każdy wielomian ma tyle pierwiastków, jaki jest jego stopień, stąd potrzeba liczenia k pierwiastków

$W_{k}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos \left({\frac {\gamma +2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {\gamma +2k\pi }{n}}\right)\right)$

(k=0,1...n-1) gdzie φ₁ i φ₂ są argumentami liczb z₁ i z₂. Dzięki temu mnożenie przez i można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt 90° w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara.

Bezpośrednio stąd wynika też poniższa równość, zwana wzorem de Moivre'a:

(cos φ+isin φ)ⁿ=cos(nφ) + isin(nφ).

Liczb zespolonych nie można porównywać, czyli określać, która z nich jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać moduły i kąty (argumenty) dwóch liczb zespolonych, gdyż zarówno moduł jak i kąt są liczbami rzeczywistymi. Dwie liczby zespolone $z_{1}=a_{1}+ib_{1}$ i $z_{2}=a_{2}+ib_{2}$ są równe, jeżeli:

ich moduły są równe i argumenty są równe, czyli ${\sqrt {a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}}={\sqrt {a_{2}^{2}+b_{2}^{2}}}$ oraz $\arctan {b_{1} \over a_{1}}=\arctan {b_{2} \over a_{2}}$ ;
ich części rzeczywiste są równe i ich części urojone są równe, czyli $a_{1}=a_{2}$ i $b_{1}=b_{2}$ .