Área

extensão de uma superfície bidimensional

Área é um conceito matemático que pode ser definida como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de superfície.[1]

O paralelogramo tem área 4, o círculo tem área e o triângulo tem área

Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-múltiplos.[2] São também muito usadas as medidas agrárias: are, que equivale a cem metros quadrados; e seu múltiplo hectare, que equivale a dez mil metros quadrados. Outras unidades de medida de área são o acre e o alqueire.

Na geografia e cartografia, o termo "área" corresponde à projeção num plano horizontal de uma parte da superfície terrestre. Assim, a superfície de uma montanha poderá ser inclinada, mas a sua área é sempre medida num plano horizontal.

Definição formal

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Uma abordagem para definir o que se entende por área é por meio de axiomas. Por exemplo, pode-se definir área como sendo uma função a de uma coleção M de figuras planas de um tipo especial (denominadas conjuntos mensuráveis) no conjunto dos números reais satisfazendo as seguintes propriedades:

  • Para qualquer S em M, a(S) ≥ 0.
  • Se S e T estão em M então ST e ST também estão e, além disso, a(ST) = a(S) + a(T) − a(ST).
  • Se S e T estão em M e ST então TS está em M e a(TS) = a(T) − a(S).
  • Se um conjunto S está em M e S é congruente a T então T também está em M e a(S) = a(T).
  • Todo retângulo R está em M. Se o retângulo tem largura h e altura k então a(R) = hk.
  • Seja Q um conjunto limitado entre duas regiões com degraus, S e T. Uma região com degraus é formada a partir de uma união finita de retângulos adjacentes apoiados em uma mesma base, isto é, SQT. Se existe um único número c tal que a(S) ≤ c ≤ a(T) para quaisquer regiões step S e T, então a(Q) = c.

Pode ser demonstrado que existe uma tal função área.[3]

Unidades

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 Ver artigo principal: Unidades de área
 
Um metro quadrado delimitado por tubos de PVC.

Cada unidade de comprimento tem uma unidade de área correspondente, igual à área do quadrado que tem por lado esse comprimento. Desta forma, as áreas podem ser medidas em metros quadrados (²), centímetros quadrados (cm²), milímetros quadrados (mm²), quilómetros quadrados (km²), pés quadrados (ft²), jardas quadradas (yd²), milhas quadradas (mi²), e assim por diante. Algebricamente, estas unidades são os quadrados das unidades de comprimento correspondentes.

A unidade do Sistema Internacional para área é o metro quadrado, que é considerado uma unidade derivada de SI.

Conversões

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Embora haja 10 mm num cm, há 100 mm² num cm².

A conversão entre duas unidades quadradas é o quadrado do fator de conversão entre as unidades de comprimento correspondentes. Por exemplo, como

1 = 12 polegadas,

é a relação entre pés quadrados e polegadas quadradas, temos que

1 pé = 144 polegadas quadradas,

sendo 144 = 12² = 12 × 12. Da forma análoga:

  • 1 quilómetro quadrado = 1 milhão de metros quadrados;
  • 1 metro quadrado = 10 000 centímetros quadrados = 1 000 000 milímetros quadrados;
  • 1 centímetro quadrado = 100 milímetros quadrados;
  • 1 jarda quadrada = 9 pés quadrados;
  • 1 milha = 3 097 600 jardas quadradas = 27 878 400 pés quadrados.

Outras unidades

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Existem várias outras unidades usadas para áreas. O are foi a unidade de medida original do sistema métrico para a área:

  • 1 are = 100 metros quadrados.

Embora o are tenha caído em desuso, o hectare ainda é muito usado para medir terrenos e propriedades:

  • 1 hectare = 100 ares = 10 000 metros quadrados = 0,01 quilómetros quadrados.

Outras unidades métricas menos habituais para a área incluem a tétrade, hectade e miríade.

O acre também é muito usado na medição da área de terrenos, sendo:

  • 1 acre = 4 840 jardas quadradas = 43 560 pés quadrados.

Um acre é aproximadamente 40% de um hectare.

História

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Acredita-se que as necessidades cotidianas, tais como as divisões de terra para o plantio às margens dos rios, a construção de residências, assim como os estudos relativos aos movimentos dos astros inserem-se no contexto de atividades ligadas à geometria e desenvolvidas pelos seres humanos ao longo da evolução humana.

Dentre os principais matemáticos da antiguidade responsáveis pelo desenvolvimento da geometria destacam-se Tales de Mileto (VI a.C.), na Grécia, importando a geometria utilizada pelos egípcios; Pitágoras, conhecido pelo teorema aplicado ao triângulo retângulo que recebeu o seu nome e aperfeiçoou o conceito de demonstração matemática da época. E, ainda nesse século, "os Elementos” de Euclides trouxeram inovações consistentes quanto aos métodos utilizados na antiguidade e que vêm contribuindo há mais de 20 séculos para o desenvolvimento das ciências, baseando-se em três conceitos básicos, tais como ponto, reta e círculo, como também nos cinco postulados. É um sistema axiomático que surge de conceitos e proposições aceitos sem demonstração, conhecidos como, postulados e axiomas.

Uma curiosidade interessante dentro do trabalho com áreas diz respeito ao corpo humano como unidade. Assim, palmos, pés, passos, braças e cúbitos, foram algumas das primeiras unidades de medida utilizadas direta ou indiretamente. Aproximadamente em 3500 a.C., período em que iniciavam-se a construção dos primeiros templos na Mesopotâmia e no Egito, os responsáveis por tais projetos sentiram a necessidade de encontrar unidades de medidas mais regulares e exatas, usaram então como base de medida as partes do corpo de apenas um homem (por exemplo, o rei) e com tais medidas confeccionaram réguas de madeiras e metal, ou ainda com nós, as quais destacaram-se como as primeiras medidas oficiais de comprimento.

O cálculo de áreas iniciou-se possivelmente pela prática da arrecadação de impostos pelos sacerdotes, os quais calculavam intuitivamente a extensão dos campos só pela observação visual, com o tempo observaram trabalhadores revestindo uma parte retangular do chão com pedras quadradas e perceberam que para determinar a quantidade de pedras, seria suficiente contar a quantidade de quadrados de uma fileira e multiplicar pelo número de fileiras existentes, dando origem assim à fórmula para o cálculo da área de um retângulo, sendo esta obtida a partir produto da base pela altura.

Logo após, desenvolveram uma fórmula para o cálculo da área de um triângulo, fundados num pensamento bastante geométrico, no qual tinham a área de um quadrado ou retângulo e dividindo-os ao meio em diagonal obtinham a área do triângulo, assim a área do triângulo é dada pela metade da área do quadrado ou do retângulo. Quando o terreno não tinha a forma retangular ou triangular, os primeiros cartógrafos e agrimensores, utilizavam a triangulação, que consistia num processo de divisão da área em triângulos, cuja soma de suas áreas representava o total da área.

No entanto, esse processo de triangulação apresentava alguns pequenos erros, ao medir a área de terrenos não planos ou com curvas. Surgiu assim a necessidade de calcular o comprimento da circunferência e a área do círculo. Com uma corda pequena ou grande sendo girada em torno de um ponto fixo tinha-se a figura de um circunferência. Essa corda, medida que conhecemos como raio da circunferência, tinha alguma relação com o comprimento da circunferência, assim, tomando essa corda e observando quantas vezes ela caberia na circunferência, perceberam que cabia pouco mais de seis vezes e um quarto, independente do seu tamanho. Desta forma concluíram que o comprimento da circunferência poderia ser dado por 6,28 vezes a medida do raio o que corresponde ao que calculamos hoje quando fazemos  , onde   vale aproximadamente  .

Quanto à área do círculo, por volta de 2000 anos a.C., conta-se que Amósis, um escriba egípcio, se propôs a determinar a área de um círculo, pensando inicialmente em calcular a área de um quadrado e obter o número de vezes que essa área caberia na área do círculo. Depois para definir qual seria esse quadrado, considerou mais adequado utilizar o quadrado cujo lado tivesse a mesma medida do raio do círculo do qual se desejava calcular a área, assim procedendo provou que o quadrado se inseria no círculo entre três e quatro vezes, o que representava uma aproximação de três vezes e um sétimo, o que atualmente consideramos aproximado a 3,14 vezes. Desta forma determinou a área do círculo multiplicando a área do quadrado por 3,14, situação que utilizamos atualmente com  , com   valendo aproximadamente  .

Na Grécia, aproximadamente em 500 a.C. foram fundadas as primeiras universidades. Neste período Tales e seu discípulo Pitágoras organizaram, desenvolveram e aplicaram todo o conhecimento da Babilônia, Etúrria, Egito e Índia à matemática, navegação e religião. Neste período, crescia a curiosidade e a procura por livros de geometria, o conhecimento do Universo ampliava-se velozmente e a escola de Pitágoras fez afirmações quanto à forma da Terra identificando-a como esférica ao invés de plana. Surgiram novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.[4]

Fórmulas de cálculo

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Retângulo

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Retângulo com área lw.

A mais simples fórmula de cálculo de uma área é a do retângulo Dado um retângulo com base l e altura w, a sua área é:

  (área do retângulo)

Ou seja, a área do retângulo é obtida multiplicando a largura pela altura. Um caso particular é a área do quadrado; sendo l o comprimento do seu lado, a sua área é:

  (área do quadrado)

A fórmula para a área do retângulo decorre diretamente das propriedades básicas da área, e por vezes é tomada como uma definição ou axioma. Tendo a geometria sido desenvolvida antes da aritmética, o conceito de área pode ser usado para definir a multiplicação de números reais.

 
Dissecção de um paralelogramo.

Fórmulas por dissecção

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A maioria das outras fórmulas simples para o cálculo da área seguem o método da dissecção. Como o nome indica, este método envolve seccionar a figura em partes mais simples, calcular a área de cada uma dessas partes, que somadas resultarão na área da figura original.

Por exemplo, um paralelogramo pode ser dividido num trapezoide e num triângulo retângulo, como ilustrado pela figura da esquerda. Se movermos o triângulo para o outro lado do trapezoide, o resultado é um retângulo. A conclusão é que a área do paralelogramo é igual à do retângulo:

 
Dois triângulos iguais.
  (área do paralelogramo)

O mesmo paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos congruentes através de um corte na diagonal, como mostrado na figura da direita:

  (área do triângulo)

É possível fazer raciocínios semelhantes para obter fórmulas para as áreas do trapezoide, do losango e de outros polígonos mais complicados.

Área de outros polígonos

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Área do trapézio:

  (B = base maior; b = base menor; h = altura)[5]

Área do losango:

  (D = diagonal maior; d = diagonal menor)[6]

Área de qualquer polígono regular:

  (P = perímetro; a = comprimento do apótema)[carece de fontes?]

Círculo

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Círculo dividido em setores que podem ser rearranjados num paralelogramo aproximado.

A área de um círculo também pode ser calculada através do método de dissecção. Dado um círculo com raio   é possível dividi-lo em setores. Cada setor tem uma forma aproximadamente triangular, e os setores podem ser rearranjados para formar uma figura próxima de um paralelogramo. A altura do paralelogramo é   e a largura é metade da circunferência do círculo, ou seja,   Resulta que a área do círculo é   ou seja,  

  (área do círculo; r = raio)[7]

Embora a dissecação usada na fórmula seja aproximada, o erro torna-se cada vez menor à medida que usamos setores cada vez menores.

O limite da área quando o tamanho dos setores tendo para zero é exatamente   que corresponde à área do círculo.

Este raciocínio é uma aplicação simples dos conceitos do cálculo. No passado, o método da exaustão foi usado de forma semelhante para encontrar a área do círculo, sendo reconhecido como um precursor do cálculo integral. Usando os métodos modernos, a área do círculo pode ser calculada usando um integral:

 

Área de uma superfície

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Arquimedes relacionou a área e volume da esfera com o cilindro.

A maioria das fórmulas para o cálculo da área de uma superfície pode ser obtida cortando e endireitando a superfície. Por exemplo, a superfície de um cilindro pode ser cortada e estendida formando um retângulo. Da mesma forma, a superfície de um cone pode ser cortada e endireitada num setor de um círculo, para permitir o cálculo da sua área.

O cálculo da área da superfície de uma esfera é mais complexo, pois a curvatura da superfície dificulta a sua projeção num plano direito. Isso acontece com sólidos com curvatura gaussiana diferente de zero. O primeiro a obter uma fórmula para o cálculo da área de uma esfera foi Arquimedes na sua obra Sobre a Esfera e o Cilindro. Provou que a área e volume da esfera é exatamente 2/3 da área e volume do cilindro que a envolve. Tal como acontece com a área do círculo, a fórmula para a área da esfera resulta de métodos similares aos do cálculo.

Á área de uma esfera com raio   é:

  (área da esfera)

Lista de fórmulas

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Fórmulas comumente usadas para o cálculo da área
Figura Formula Variáveis
Triângulo equilátero     é comprimento de um lado do triângulo.
Triângulo     é metade do perímetro,     e   é o comprimento de cada um dos lados.
Triângulo     e   são quaisquer dois lados, e   é o ângulo entre eles.
Triângulo     e   são a base e altura (medida perpendicularmente à base), respetivamente.
Quadrado     é o comprimento de um dos lados do quadrado.
Retângulo     e   são o comprimento de cada um dos lados do retângulo.
Losango     e   são o comprimento de cada uma das diagonais do losango.
Paralelogramo     é o comprimento da base e   é a altura medida na perpendicular.
Trapézio     e   são os lados paralelos e   a distância (altura) entre os lados paralelos.
Hexágono regular     é o comprimento de um dos lados do hexágono.
Octógono regular     é o comprimento de um dos lados do octógono
Polígono regular     é o comprimento de um dos lados e   o número de lados.
Polígono regular     é o raio do círculo circunscrevente,   o raio do círculo interior, e   é o número de lados.
Polígono regular     é o apótema (raio do círculo interior ao polígono) e   é o perímetro do polígono.
Círculo     é o raio e   o diâmetro.
Setor circular     e   são, respetivamente, o raio e ângulo (em radianos).
Elipse     e   são o semieixo maior e semieixo menor, respetivamente.
Área total da superfície do cilindro     e   são o raio e altura do cilindro.
Superfície lateral do cilindro     e   são o raio e altura do cilindro.
Superfície total do cone     e   são o raio e a distância do vértice ao círculo base, respetivamente.
Superfície total da esfera     e   são o raio e o diâmetro, respetivamente.
Superfície total da pirâmide     é a área da base,   o perímetro da base e   a distância do vértice aos cantos da base.

Aplicações

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Pode-se operacionalizar as áreas de algumas figuras planas e utilizá-las em algumas aplicações úteis. Evidentemente, associa-se área de uma figura plana a um número positivo, o qual expressa o espaço do plano ocupado por ela.

Notação

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Usa-se a escrita   para indicar a área de um polígono de   vértices. Vale lembrar que em qualquer polígono o número de vértices é igual ao número de lados.

Área de um triângulo

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Critério para equivalência de triângulos

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Propriedade 1
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Dois triângulos de mesma base e mesma altura têm áreas iguais.

Demonstração: Dadas duas retas paralelas   e  , a uma distância  , marcamos sobre a reta  , os pontos   e  , e sobre a reta  , marcamos os pontos,   e  , conforme figura abaixo.

Essa é uma consequência do corolário: Sejam   e   triângulos tais que  . Então  .[8]

 

Analisando as áreas dos triângulos   e  , temos que:

 

 

Assim, como   e a distância de   a   dada por  , se   e   pertencem a reta   e   pertence a reta  , obtendo um ponto qualquer   sobre a reta  , temos  , portanto os dois triângulos   e   possuem a mesma base   e a mesma altura  , logo suas áreas são iguais.

Propriedade 2
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Se dois triângulos possuem mesma altura, então a razão entre as suas áreas é igual à razão entre as suas bases.

 

Na triângulo  , foi traçada uma ceviana a partir do vértice   intersectando o lado   no ponto  , ficando assim determinados dois triângulos:   e  , de mesma altura  .

Demonstração: Fazendo a razão entre as áreas temos,

 

Portanto,

 

Triângulos semelhantes

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 Ver artigo principal: Semelhança de triângulos

Dados dois triângulos semelhantes ABC e MNP, vamos analisar a razão de semelhança entre a razão entre suas áreas e sua razão de semelhança.

 

Sejam   e   dois triângulos semelhantes, sendo   a razão de semelhança entre seus lados:

 , então temos  

Demonstração: Como   e  , temos pelas áreas dos triângulos:


 

Portanto, dados dois triângulos com razão de semelhança   entre seus lados correspondentes, a razão de semelhança entre suas áreas será  .

A prova do teorema de Pitágoras e outras relações métricas no triângulo retângulo através do cálculo de áreas

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Seja   um triângulo retângulo no vértice  , onde a hipotenusa  , e seus catetos   e  , considerando ainda a altura relativa à hipotenusa  , bem como as projeções dos catetos sobre a hipotenusa   e  , temos:

 

Vamos provar as seguintes relações através do cálculo de áreas:

  • I.  
  • II.   e  
  • III.  


Demonstração I:

I.a) Calculando a área   a partir da base   e altura  :

 

I.b) Calculando a área   a partir da base   e altura  :

 

Decorre de I.a) e I.b) temos que  .

Logo  


Demonstração II:

II.a) Dado o triângulo  , retângulo em  , constrói-se quadrados sobre a hipotenusa   e os catetos   e  , respectivamente de medidas  ,   e  . Depois prolonga-se a altura   até interceptar o lado   do quadrado   no ponto  .

 

Observando os segmentos paralelos   e  , percebe-se dois triângulos   e   de mesma área, cujas bases medem   e as alturas medem  .

Assim,  

Vejamos ainda na figura acima que, os triângulos   e   são congruentes pelo caso LAL, pois  ,   e  . Logo,  . E como os segmentos   e   são paralelos temos que  , visto que a base   e a altura   são comuns aos dois triângulos.

Assim:  , então  

Daí,  

II.b) De maneira análoga, é provado que  

 

Como  , temos nos triângulos   e   que  , pois possuem a mesma base   e mesma altura  , sendo assim:

 

Temos ainda que os triângulos   e   são congruentes pelo caso LAL, pois  ;  ;  . Então, como   temos:

 

Portanto, da congruência   e  , temos:

 


Demonstração III:

De maneira simplificada, somando as duas igualdades II.a) e II.b) temos:

  e  , logo  


Como  , temos:

  (Teorema de Pitágoras)


Pode-se obter uma demonstração mais elaborada do teorema de Pitágoras por meio do cálculo de áreas. Observando a figura da demonstração II. b) temos que:

 , pelo caso LAL, então  . Temos também que   e  . Daí,  .


Logo,  .

Por outro lado, da demonstração II. b), onde  , pelo caso LAL, então  . Temos ainda que   e  . Daí,  .


Logo,  .

Portanto, analisando a área do quadrado   de acordo com as demonstrações II. a) e II. b), temos que:


 


 


 


Concluindo,  ,   e  


Então,   (Teorema de Pitágoras)

Área de um trapézio

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No trapézio   de altura  , temos os lados paralelos   e  , tal que   e  .

 

Demonstração: Vamos supor, sem perda de generalidade, que  , e traçar pelo vértice   um segmento paralelo ao lado   de forma que intercepte o lado   no ponto  . Assim, como   e  , temos o paralelogramo   de altura   e base  , e temos ainda um triângulo   de base  , e altura  .

Note que:

 

Portanto,

 

Área de um losango

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De acordo com o corolário: Se ABCD é um losango de diagonais AC e BD, então  .[9]

Demonstração: Dado o losango  , cujas diagonais interceptam-se no ponto  , simultâneamente, ponto médio de ambas as diagonais   e  .

 

Como  , os triângulos determinados pelas diagonais   e  , são isósceles e como   é ponto médio destas diagonais, temos que,  ,  , portanto os triângulos   e   são congruentes pelo caso LAL, assim como os triângulos   e  , pelo mesmo caso.

Sendo assim, vamos mostrar a área do losango através dos triângulos determinados pela diagonal  .

 

 .

Como  , temos:

 

Ver também

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Referências

  1. Facco, Sonia Regina. «Conceito de área» (PDF). pucsp.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012 
  2. «Bureau International des Poids et Mesures» (em inglês) 
  3. Veja, por exemplo, Elementary Geometry from an Advanced Standpoint de Edwin Moise.
  4. Só Matemática. «História da Geometria». Consultado em 17 de junho de 2015 
  5. «Área do trapézio». colegioweb.com.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012 
  6. «Cálculo de área». matematicadidatica.com.br. Consultado em 9 de janeiro de 2012 
  7. Beckmann, Petr (1993), A History of Pi, New York: Barnes & Noble publicado por acordo com St. Martin's Press, p. 17 :
    "The area of a circle... is    "
    ("A área de um círculo... é    ")
  8. Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Coleção PROFMAT - Geometria. [S.l.]: SBM. 215 páginas 
  9. Antonio Caminha Muniz Neto (2013). Coleção PROFMAT - Geometria. [S.l.]: SBM. 219 páginas 

Ligações externas

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WikiUnits - Converter Área entre diferentes unidades