Usuário(a):Michelmichelon/Testes

LIMITES ITERADOS

Em cálculo com múltiplas variáveis, os Limites Iterados são apresentados como expressões na forma ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)$.

Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$, nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)$, nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$.

Essa definição difere da expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y)$, que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável $f(x,y)$ se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos $(x,y)$ do ponto $(a,b)$. Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.

Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral

${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y)$.

Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.

Definição formal

Suponha $A,B\subseteq M$, onde $M$ é um espaço métrico completo e, ainda $a\in A^{\prime }$ e $b\in B^{\prime }$, onde $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ são os conjuntos de pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente. Sejam, então, $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$ e $h(y):={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)$, chamamos de limites iterados as expressões ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)$ e ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}h(y)={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$. Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y).$

Exemplos

Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.

Sejam as funções abaixo definidas de forma que, $f,g,h:A\times B=(0,+\infty )\times (0,+\infty )\rightarrow \Re$,

(1) $f(x,y)={\dfrac {x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}}$

Temos ${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=y-1$ e ${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=x+1$, de onde segue

${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)=-1$ e ${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)=1$, ou seja

${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)$.

.

(2) $g(x,y)={\dfrac {x\sin {\frac {1}{x}}+y}{x+y}}$

${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=1$, de onde ${\underset {y\rightarrow 0\%}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)\right)=1$.

Mas, ${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)=\sin {\frac {1}{x}}$ e, portanto, $\nexists {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)\right)$.

.

(3) $h(x,y)=x\sin {\frac {1}{y}}$, $0\leq \left\vert x\sin {\frac {1}{y}}\right\vert \leq \left\vert x\right\vert$

Temos ${\underset {(x,y)\rightarrow (0,0)}{\lim }}h(x,y)={\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}h(x,y)\right)=0$, mas $\nexists {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}y(x,y)\right)$.

Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,

(4) $f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},$

Oras, $\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=0$, logo $\lim _{x\to 0}\left(\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right)=\lim _{y\to 0}\left(\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right)=0$

Mas o limite duplo em torno do caminho $y=x$ é dado por,

$\lim _{{\Big (}(x,y)\to (0,0)\,:\,y=x{\Big )}}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2}}.$

Troca da ordem dos operadores de limite

Deve-se notar, inclusive, que, invertendo-se a ordem dos limites iterados, nem sempre encontraremos um mesmo valor, bem como os limites iterados nem sempre são siguais aos limites duplos. Isso será explorado mais adiante na forma de contraexemplos.

SÉRIES DUPLAS

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