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Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.<ref>{{citar periódico|ultimo = |primeiro = |titulo = Interchanging Two Limits|jornal = THE TEACHING OF MATHEMATICS|doi = |url = http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/14/tm812.pdf|acessadoem = 14/12/2014|autor = Zoran Kadelburg|coautores = Milosav M. Marjanovi´|ano = 2005|volume = VIII|paginas = 15-29}}</ref> |
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Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.<ref>{{citar periódico|ultimo = |primeiro = |titulo = Interchanging Two Limits|jornal = THE TEACHING OF MATHEMATICS|doi = |url = http://elib.mi.sanu.ac.rs/files/journals/tm/14/tm812.pdf|acessadoem = 14/12/2014|autor = Zoran Kadelburg|coautores = Milosav M. Marjanovi´|ano = 2005|volume = VIII|paginas = 15-29}}</ref> |
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=== PROPOSIÇÃO === |
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=== Proposição === |
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Seja <math>f:A\times B\rightarrow M</math> uma função de um subconjunto <math>A\times B\subset M_{1}\times M_{2}</math> em <math>M</math> e <math>(a,b)\in A^{\prime }\times B^{\prime }</math>, onde <math>M_{1},M_{2},M</math> são espaços métricos. Se |
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Seja <math>f:A\times B\rightarrow M</math> uma função de um subconjunto <math>A\times B\subset M_{1}\times M_{2}</math> em <math>M</math> e <math>(a,b)\in A^{\prime }\times B^{\prime }</math>, onde <math>M_{1},M_{2},M</math> são espaços métricos. Se |
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(i) <math>\exists \underset{(a,b)}{\lim }f(x,y)=\alpha </math> |
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(i) <math>\exists \underset{(a,b)}{\lim }f(x,y)=\alpha </math> |
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(ii) para cada <math>y\in B,\exists \underset{x\rightarrow a}{\lim }f(x,y)=\psi(y)</math> |
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(ii) para cada <math>y\in B,\exists \underset{x\rightarrow a}{\lim }f(x,y)=g(y)</math> |
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então <math>\exists \underset{y\rightarrow b}{\lim }\psi (y)=\alpha </math>. |
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então <math>\exists \underset{y\rightarrow b}{\lim }g(y)=\alpha </math>. |
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B_{\delta }(b)\backslash \{b\}\Rightarrow d(\psi (y),\alpha )<\varepsilon </math>, de modo que <math>\underset{y\rightarrow b}{\lim }\psi (y)=\alpha </math>. |
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B_{\delta }(b)\backslash \{b\}\Rightarrow d(\psi (y),\alpha )<\varepsilon </math>, de modo que <math>\underset{y\rightarrow b}{\lim }\psi (y)=\alpha </math>. |
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=== Teorema do intercâmbio de limites === |
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=== TEOREMA === |
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==Referências== |
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==Referências== |
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LIMITES ITERADOS
Em cálculo com múltiplas variáveis, os Limites Iterados são apresentados como expressões na forma .
Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando , nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, , nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por .
Essa definição difere da expressão , que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos do ponto . Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.
Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral
.
Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.
Suponha , onde é um espaço métrico completo e, ainda e , onde e são os conjuntos de pontos de acumulação de e , respectivamente. Sejam, então, e , chamamos de limites iterados as expressões e . Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão
Exemplos
Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.
Sejam as funções abaixo definidas de forma que, ,
(1)
Temos e , de onde segue
e , ou seja
.
.
(2)
, de onde .
Mas, e, portanto, .
.
(3) ,
Temos , mas .
Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,
(4) [1]
Oras, , logo
Mas o limite duplo em torno do caminho é dado por,
Troca da ordem dos operadores de limite
Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.[2]
Proposição
Seja uma função de um subconjunto em e , onde são espaços métricos. Se
(i)
(ii) para cada
então .
DEMONSTRAÇÃO
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Como , então, da definição,
, .
Usando o fato de que e a continuidade da função norma, então Falhou a verificação gramatical (SVG (MathML pode ser ativado através de uma extensão do ''browser''): Resposta inválida ("Math extension cannot connect to Restbase.") do servidor "http://localhost:6011/pt.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \exists \underset{ x\rightarrow a}{\lim }d(f(x,y),\alpha )=d(\psi (y),\alpha )\leq \frac{ \varepsilon }{2}}
.
Segue que , de modo que .
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Teorema do intercâmbio de limites
Seja...
DEMONSTRAÇÃO
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Referências
- ↑ Stewart, James (2008). «Capítulo 15.2 Limites e Continuidade». Cálculo Multivariável 6ª ed. [S.l.: s.n.] ISBN 0495011630
- ↑ Zoran Kadelburg; Milosav M. Marjanovi´ (2005). «Interchanging Two Limits» (PDF). THE TEACHING OF MATHEMATICS. VIII: 15-29. Consultado em 14 de dezembro de 2014
SÉRIES DUPLAS
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