Usuário(a):Michelmichelon/Testes

LIMITES ITERADOS

Em cálculo com múltiplas variáveis, os Limites Iterados são apresentados como expressões na forma ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)$.

Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$, nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)$, nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$.

Essa definição difere da expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y)$, que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável $f(x,y)$ se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos $(x,y)$ do ponto $(a,b)$. Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.

Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral

${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y)$.

Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.

Definição formal

Suponha $A,B\subseteq M$, onde $M$ é um espaço métrico completo e, ainda $a\in A^{\prime }$ e $b\in B^{\prime }$, onde $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ são os conjuntos de pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente. Sejam, então, $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$ e $h(y):={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)$, chamamos de limites iterados as expressões ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)$ e ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}h(y)={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$. Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow (a,b)}{\lim }}f(x,y).$

Exemplos

Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.

Sejam as funções abaixo definidas de forma que, $f,g,h:A\times B=(0,+\infty )\times (0,+\infty )\rightarrow \Re$,

(1) $f(x,y)={\dfrac {x-y+x^{2}+y^{2}}{x+y}}$

Temos ${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=y-1$ e ${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=x+1$, de onde segue

${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)=-1$ e ${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)=1$, ou seja

${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)\neq {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)\right)$.

.

(2) $g(x,y)={\dfrac {x\sin {\frac {1}{x}}+y}{x+y}}$

${\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}f(x,y)=1$, de onde ${\underset {y\rightarrow 0\%}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)\right)=1$.

Mas, ${\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)=\sin {\frac {1}{x}}$ e, portanto, $\nexists {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}g(x,y)\right)$.

.

(3) $h(x,y)=x\sin {\frac {1}{y}}$, $0\leq \left\vert x\sin {\frac {1}{y}}\right\vert \leq \left\vert x\right\vert$

Temos ${\underset {(x,y)\rightarrow (0,0)}{\lim }}h(x,y)={\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}h(x,y)\right)=0$, mas $\nexists {\underset {x\rightarrow 0}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow 0}{\lim }}y(x,y)\right)$.

Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,

(4) $f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}},$

Oras, $\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=0$, logo $\lim _{x\to 0}\left(\lim _{y\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right)=\lim _{y\to 0}\left(\lim _{x\to 0}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\right)=0$

Mas o limite duplo em torno do caminho $y=x$ é dado por,

$\lim _{{\Big (}(x,y)\to (0,0)\,:\,y=x{\Big )}}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2}}.$

Troca da ordem dos operadores de limite

Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.

Proposição

Seja $f:A\times B\rightarrow M$ uma função de um subconjunto $A\times B\subset M_{1}\times M_{2}$ em $M$ e $(a,b)\in A^{\prime }\times B^{\prime }$, onde $M_{1},M_{2},M$ são espaços métricos. Se

(i) $\exists {\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)=\alpha$

(ii) para cada $y\in B,\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)=g(y)$

então $\exists {\underset {y\rightarrow b}{\lim }}g(y)=\alpha$.

DEMONSTRAÇÃO

Como $\exists {\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)=\alpha$, então, da definição, $\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall (x,y)\in A\times B$, $(x,y)\in B_{\delta }(a)\times B_{\delta }(b)\backslash \{(a,b)\}\Rightarrow d(f(x,y),\alpha )=\left\vert f(x,y)-\alpha \right\vert <{\frac {\varepsilon }{2}}$. Usando o fato de que $\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)=\psi (y)$ e a continuidade da função norma, então $\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}d(f(x,y),\alpha )=d(\psi (y),\alpha )\leq {\frac {\varepsilon }{2}}$. Segue que $\forall \varepsilon >0,\exists \delta >0,\forall y\in B,y\in B_{\delta }(b)\backslash \{b\}\Rightarrow d(\psi (y),\alpha )<\varepsilon$, de modo que ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\psi (y)=\alpha$.

Teorema do intercâmbio de limites

Seja $f:A\times B\rightarrow M$ uma função em um espaço métrico completo, onde $A$ e $B$ são subconjuntos dos espaços métricos $M_{1}$ e $M_{2}$, respectivamente, e seja $a\in A^{\prime }\backslash A,b\in B^{\prime }\backslash B$. Se

(i) $\exists {\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)=g(y)$,$\forall y\in B$

(ii) $\exists {\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)=h(x)$ uniformemente em $x\in A$

então os três limites ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}{\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y),$ ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}{\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y),{\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)$ existem e são iguais.

DEM

Seja $\varepsilon >0$ arbitr\'{a}rio.

De (ii) temos, pela defini\c{c}\~{a}o

(1) $\exists \delta >0,\forall y\in B:0<d_{2}(y,b)<\delta \Rightarrow \forall x\in A:d(f(x,y),\varphi (x))<{\frac {\varepsilon }{6}}.$

Seja $y^{\ast }\in B_{\delta }(b)\backslash \{b\}$, usando (i), segue

(2) $\exists \delta ^{\ast }>0,\forall x\in A:0<d_{1}(x,a)<\delta ^{\ast }\Rightarrow d(f(x,y^{\ast }),\psi (y^{\ast }))<{\frac {\varepsilon }{6}}.$

Seja a vizinhan\c{c}a do ponto $(a,b)$ dada na forma

$V=B_{\delta ^{\ast }}(a)\times B_{\delta }(b)$ e sejam os pontos $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in V\backslash \{(a,b)\}.$

Da desigualdade triangular segue

$d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))\leq d(f(x_{1},y_{1}),\varphi (x_{1}))+d(\varphi (x_{1}),f(x_{1},y^{\ast }))+$

$d(f(x_{1},y^{\ast }),\psi (y^{\ast }))+d(\psi (y^{\ast }),f(x_{2},y^{\ast }))+d(f(x_{2},y^{\ast }),\varphi (x_{2}))+d(\varphi (x_{2}),f(x_{2},y_{2}))$

Por (1) e (2), cada termo do lado direito da desigualdade s\~{a}o menores que ${\frac {\varepsilon }{6}}.$

Decorre disso que

$\forall (x_{1},y_{1})\in A\times B,\forall (x_{2},y_{2})\in A\times B:$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in V\backslash \{(a,b)\}\Rightarrow d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))<\varepsilon .$

Assim, a fun\c{c}\~{a}o satisfaz o crit\'{e}rio de Cauchy no ponto $(a,b)$ e, como $M$ \'{e} um espa\c{c}o m\'{e}trico completo, ent\~{a}o existe ${\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)=\alpha$.

Segue da Proposi\c{c}\~{a}o com (i) que

${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\psi (y)=\alpha ={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y))$

e com (ii) que

${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\varphi (x)=\alpha ={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y))$ .

DEMONSTRAÇÃO
dssdsdds|} Referências SÉRIES DUPLAS sddds