Usuário(a):Michelmichelon/Testes

SÉRIES DUPLAS

Suponha um número infinito de termos arranjados para formar uma rede limitada à esquerda e acima, como a apresentada abaixo

Elementos
$a_{1,1}+~a_{1,2}+~a_{1,3}+\cdots$
$+a_{2,1}+~a_{2,2}+~a_{2,3}+\cdots$
$+a_{3,1}+~a_{3,2}+~a_{3,3}+\cdots$
$+\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots +\cdots$

onde o primeiro sufixo refere-se à linha e o segundo à coluna em que o elemento se encontra. Suponha um retângulo desenhado sobre essa rede para incluir as primeiras $m$ linhas e $n$ colunas da matriz de termos. Denotamos a soma dos termos contidos nesse retângulo por $S_{m,n}$. Seja, então, possível encontrar $\lambda$ tal que $\left\vert S_{m,n}-S\right\vert <\varepsilon$ se $m,n>\lambda$, dizemos que $S$ é a série dupla de $S_{m,n}$.

Também é possível expressar essa ideia pelo limite duplo ${\underset {(m,n)}{\lim }}S_{m,n}=S$. Devemos, contudo, atentar para o fato de que não é imediato o fato de que $S_{m,n}\rightarrow S$, já que esse limite duplo pode não existir.

Aliás, como $a_{m,n}=S_{m,n}-S_{m-1,n}-S_{m,n-1}+S_{m-1,n-1}$, segue que, se $\{S_{m,n}\}$ converge, é possível encontrar $\delta$ tal que $\left\vert a_{m,n}\right\vert <\varepsilon$ se $m,n>\delta$, o que não implica em $a_{m,n}\rightarrow 0$ se $m$ e $n$ tendem a $\infty$ separadamente. Para mais informações, veja os exemplos que serão apresentados nas próximas seções.

Exemplos

dffdfdfd

Séries Repetidas

hjhhjh

Troca dos Operadores de Somatório

ssddsds

DEMONSTRAÇÃO

Seja $\varepsilon >0$ arbitrário. De (ii) temos, pela definição (1) $\exists \delta >0,\forall y\in B:0<d_{2}(y,b)<\delta \Rightarrow \forall x\in A:d(f(x,y),h(x))<{\frac {\varepsilon }{6}}.$ Seja $y^{\ast }\in B_{\delta }(b)\backslash \{b\}$, usando (i), segue (2) $\exists \delta ^{\ast }>0,\forall x\in A:0<d_{1}(x,a)<\delta ^{\ast }\Rightarrow d(f(x,y^{\ast }),g(y^{\ast }))<{\frac {\varepsilon }{6}}.$ Seja a vizinhança do ponto $(a,b)$ dada na forma $V=B_{\delta ^{\ast }}(a)\times B_{\delta }(b)$ e sejam os pontos $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in V\backslash \{(a,b)\}.$ Da desigualdade triangular segue $d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))\leq d(f(x_{1},y_{1}),h(x_{1}))+d(h(x_{1}),f(x_{1},y^{\ast }))+$$d(f(x_{1},y^{\ast }),g(y^{\ast }))+d(g(y^{\ast }),f(x_{2},y^{\ast }))+d(f(x_{2},y^{\ast }),h(x_{2}))+d(h(x_{2}),f(x_{2},y_{2}))$ Por (1) e (2), cada termo do lado direito da desigualdade são menores que ${\frac {\varepsilon }{6}}.$ Decorre disso que $\forall (x_{1},y_{1})\in A\times B,\forall (x_{2},y_{2})\in A\times B:$ $(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in V\backslash \{(a,b)\}\Rightarrow d(f(x_{1},y_{1}),f(x_{2},y_{2}))<\varepsilon .$ Assim, a função satisfaz o critério de Cauchy no ponto $(a,b)$ e, como $M$ é um espaço métrico completo, existe ${\underset {(a,b)}{\lim }}f(x,y)=\alpha$. Da proposição anterior, junto com (i), segue ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}g(y)=\alpha ={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y))$ e, com (ii) que ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}h(x)=\alpha ={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y))$ . O que conclui a demonstração.

SÉRIES DUPLAS

sddds