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Assim, <math>\{a_{m,n}\}</math> é convergente se <math> |
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Assim, <math>\{a_{m,n}\}</math> é convergente se <math> |
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a_{m,n}\rightarrow a</math>. Como <math>a</math> é único, ele é chamado de limite |
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a_{m,n}\rightarrow a</math>. Como <math>a</math> é único, ele é chamado de [[Limites iterados|limite duplo]] de <math>\{a_{m,n}\}</math> e é denotado por <math>\underset{(m,n)\rightarrow |
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duplo de <math>\{a_{m,n}\}</math> e é denotado por <math>\underset{(m,n)\rightarrow |
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(\infty ,\infty )}{\lim }a_{m,n}</math>. |
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(\infty ,\infty )}{\lim }a_{m,n}</math>. |
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=== Teorema do limite em sequências duplas === |
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=== Teorema do limite em sequências duplas === |
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Tome <math>a_{m,n}\rightarrow a,b_{m,n}\rightarrow b</math>, isso implica em |
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Tome <math>a_{m,n}\rightarrow a,b_{m,n}\rightarrow b</math>, isso implica em |
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( 1) <math>a_{m,n} +b_{m,n}\rightarrow a+b</math> |
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(2) <math>ra_{m,n}\rightarrow ra,\forall r\in \mathbb{R}</math> |
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'''(1)''' <math>a_{m,n}+b_{m,n}\rightarrow a+b</math> |
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(3) <math>a_{m,n}b_{m,n}\rightarrow ab</math> |
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'''(2)''' <math>ra_{m,n}\rightarrow ra,\forall r\in \mathbb{R}</math> |
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(4) seja <math>a\neq 0</math>, <math>\exists (m_{0},n_{0})\in |
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⚫ |
'''( 3) ''' <math>a_{m,n}b_{m,n}\rightarrow ab</math> |
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'''(4) ''' seja <math>a\neq 0</math>, <math>\exists (m_{0},n_{0})\in |
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\mathbb{N} |
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\mathbb{N} |
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^{2}:a_{m,n}\neq 0,\forall (m,n)\geq (m_{0},n_{0})</math> e <math>\frac{1}{a_{m,n}} |
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^{2}:a_{m,n}\neq 0,\forall (m,n)\geq (m_{0},n_{0})</math> e <math>\frac{1}{a_{m,n}} |
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\rightarrow \frac{1}{a}</math> |
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\rightarrow \frac{1}{a}</math> |
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=== Critério de Cauchy para Convergência === |
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=== Critério de Cauchy para convergência === |
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Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy. |
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Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy. |
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do Critério de Cauchy de uma variável. |
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do Critério de Cauchy de uma variável. |
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Seja <math>b_{n}\rightarrow b</math> e <math>\varepsilon >0$ dado,<math>\exists n_{0}\in |
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Seja <math>b_{n}\rightarrow b</math> e <math>\varepsilon >0</math> dado,<math>\exists n_{0}\in |
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:\left\vert b_{n}-b\right\vert <\varepsilon ,\forall n\geq n_{0}.</math> |
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:\left\vert b_{n}-b\right\vert <\varepsilon ,\forall n\geq n_{0}.</math> |
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Como <math>\{a_{m,n}\}</math> \'{e} Cauchy, <math>\exists n_{1}\in |
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Como <math>\{a_{m,n}\}</math> é Cauchy, <math>\exists n_{1}\in |
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\mathbb{N} |
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\mathbb{N} |
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:n_{1}\geq n_{0}</math> e <math>\left\vert a_{m,n}-a_{p,q}\right\vert <\varepsilon |
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:n_{1}\geq n_{0}</math> e <math>\left\vert a_{m,n}-a_{p,q}\right\vert <\varepsilon |
SEQUÊNCIA DUPLA
Seja uma função
, ou seja, uma função cujo domínio são os pares
, com
. Suponha, então, uma rede limitada à esquerda e acima com os termos
, conforme ilustrado abaixo
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Denotamos por
a sequência dupla dessa função.
O valor do termo
dessa sequência, correspondente à posição
, é chamado de
termo da sequência dupla.
É fácil notar que, como a sequência é definida em
,
e
.
Convergência
Dizemos que uma sequência dupla é convergente se
.
Assim,
é convergente se
. Como
é único, ele é chamado de limite duplo de
e é denotado por
.
Teorema do limite em sequências duplas
Tome
, isso implica em
(1)
(2)
(3)
(4) seja
,
e
Critério de Cauchy para convergência
Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy.
DEMONSTRAÇÃO
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Imediato.
Seja uma sequência dupla de Cauchy, tome
as sequências diagonais , para .
Oras, é uma sequência de Cauchy. A prova segue, então,
do Critério de Cauchy de uma variável.
Seja e dado,
Como é Cauchy, e
Pela desigualdade triangular
. Logo, converge para .
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Referências