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Denotamos por <math>\{a_{m,n}\}</math> a '''sequência dupla''' dessa função. |
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Denotamos por <math>\{a_{m,n}\}</math> a '''sequência dupla''' dessa função.<ref>{{citar livro|título = A Course in Multivariable Calculus and Analysis|sobrenome = Ghorpade|nome = Sudhir R.,Balmohan V. Limaye|edição = |local = |editora = Springer|ano = 2010|página = 369-375|isbn = |capítulo = Chapter 7}}</ref> |
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O valor do termo <math>a_{m,n}</math> dessa sequência, correspondente à posição <math>(m,n)</math>, é chamado de <math>(m,n)-\acute{e}simo</math> termo da sequência dupla. |
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O valor do termo <math>a_{m,n}</math> dessa sequência, correspondente à posição <math>(m,n)</math>, é chamado de <math>(m,n)-\acute{e}simo</math> termo da sequência dupla. |
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=== Teorema da troca de limites === |
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=== Teorema da troca de limites === |
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Se uma sequência dupla tem limite duplo e um (ou ambos) os limites |
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Se uma sequência dupla tem limite duplo e um (ou ambos) os limites |
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iterados, então esses limites têm que ser iguais. |
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iterados, então esses limites têm que ser iguais.<ref>{{citar livro|título = Examples and Theorems in Analysis|sobrenome = Walker|nome = Peter|edição = |local = |editora = |ano = |página = |isbn = |capítulo = Chapter 1}}</ref> |
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SEQUÊNCIA DUPLA
Seja uma função
, ou seja, uma função cujo domínio são os pares
, com
. Suponha, então, uma rede limitada à esquerda e acima com os termos
, conforme ilustrado abaixo
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Denotamos por
a sequência dupla dessa função.[1]
O valor do termo
dessa sequência, correspondente à posição
, é chamado de
termo da sequência dupla.
É fácil notar que, como a sequência é definida em
,
e
.
Convergência
Dizemos que uma sequência dupla é convergente se
.
Assim,
é convergente se
. Como
é único, ele é chamado de limite duplo de
e é denotado por
.
Teorema do limite em sequências duplas
Tome
, isso implica em
(1)
(2)
(3)
(4) seja
,
e
Critério de Cauchy para convergência
Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy.
DEMONSTRAÇÃO
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Imediato.
Seja uma sequência dupla de Cauchy, tome
as sequências diagonais , para .
Oras, é uma sequência de Cauchy. A prova segue, então,
do Critério de Cauchy de uma variável.
Seja e dado,
Como é Cauchy, e
Pela desigualdade triangular
. Logo, converge para .
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Teorema da troca de limites
Se uma sequência dupla tem limite duplo e um (ou ambos) os limites
iterados, então esses limites têm que ser iguais.[2]
DEMONSTRAÇÃO
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Como o limite duplo existe, dado , .
Segue que, se existe e , podemos levar em para obter , se , de modo que , cqd.
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Referências
- ↑ Ghorpade, Sudhir R.,Balmohan V. Limaye (2010). «Chapter 7». A Course in Multivariable Calculus and Analysis. [S.l.]: Springer. p. 369-375
- ↑ Walker, Peter. «Chapter 1». Examples and Theorems in Analysis. [S.l.: s.n.]