Usuário(a):Michelmichelon/Testes

PÁGINA DE LIMITES ITERADOS E DUPLOS

Em cálculo multivariáveis, uma definição importante é a de Limites Iterados, geralmente apresentados na forma

INSERIR

Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, nos aproximamos de um número. Essa definição difere da expressão abaixo

INSERIR

que não é um limite iterado, mas sim um limite duplo. O significado dessa segunda expressão é que o limite da função de mais de uma variável f(x,y) se torna tão próxima de um número L tanto quanto aproximamos (x,y) do ponto (p,q), o que não envolve tomar um limite e, então, o outro.

Deve-se notar, inclusive, que os limites iterados

Definição formal

Suponha $A,B\subseteq M$, onde $M$ é um espaço métrico completo e, ainda $a\in A^{\prime }$ e $b\in B^{\prime }$, onde $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ são os conjuntos de pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente.
Sejam, então, $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$ e $h(y):={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)$, chamamos de limites iterados as expressões do tipo ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)$ e ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}h(y)={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$. Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow a,b)}{\lim }}f(x,y).$