Usuário(a):Michelmichelon/Testes

PÁGINA DE LIMITES ITERADOS E DUPLOS

Em cálculo multivariáveis, uma definição importante é a de Limites Iterados, geralmente apresentados na forma

INSERIR

Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável, nos aproximamos de um número. Essa definição difere da expressão abaixo

INSERIR

que não é um limite iterado, mas sim um limite duplo. O significado dessa segunda expressão é que o limite da função de mais de uma variável f(x,y) se torna tão próxima de um número L tanto quanto aproximamos (x,y) do ponto (p,q), o que não envolve tomar um limite e, então, o outro.

Definição formal

Suponha $A,B\subseteq M$, onde $M$ é um espaço métrico completo e, ainda $a\in A^{\prime }$ e $b\in B^{\prime }$, onde $A^{\prime }$ e $B^{\prime }$ são os conjuntos de pontos de acumulação de $A$ e $B$, respectivamente.
Sejam, então, $g(x):={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)$ e $h(y):={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)$, chamamos de limites iterados as expressões do tipo ${\underset {x\rightarrow a}{\lim }}g(x)={\underset {x\rightarrow a}{\lim }}\left({\underset {y\rightarrow b}{\lim }}f(x,y)\right)$ e ${\underset {y\rightarrow b}{\lim }}h(y)={\underset {y\rightarrow b}{\lim }}\left({\underset {x\rightarrow a}{\lim }}f(x,y)\right)$. Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão ${\underset {(x,y)\rightarrow a,b)}{\lim }}f(x,y).$

Exemplos

dfdfdffd

Troca da ordem dos operadores de limite

Deve-se notar, inclusive, que, invertendo-se a ordem dos limites iterados, nem sempre encontraremos um mesmo valor, bem como os limites iterados nem sempre são siguais aos limites duplos. Isso será explorado mais adiante na forma de contraexemplos.