LIMITES ITERADOS
Em cálculo com múltiplas variáveis, os Limites Iterados são apresentados como expressões na forma
.
Temos, assim, uma expressão cujo valor depende de, ao menos, duas variáveis. Tomando o limite em relação a uma dessas variáveis, ou seja, tomando
, nos aproximamos de uma expressão cujo valor depende apenas da outra e, então, tomando o limite em relação a essa outra variável,
, nos aproximamos de um número, que representa um dos limites iterados para essas variáveis. O outro limite iterado é dado por
.
Essa definição difere da expressão
, que não é um limite iterado, mas sim um Limite Duplo. Nesse caso, o significado da expressão é que o limite da função de mais de uma variável
se aproxima tanto de um determinado número L tanto quanto aproximamos
do ponto
. Ou seja, não envolve tomar um limite e, então, o outro, mas sim analisar o comportamento da função em torno do ponto desejado por vários caminhos.
Deve-se considerar que, em geral, os três limites acima (os dois iterados e o duplo) não levam a resultados comuns, ou seja, em geral
.
Exemplos e condições nos quais as trocas de ordem dos operadores de limite são aceitas serão analisados nas seções seguintes.
Suponha
, onde
é um espaço métrico completo e, ainda
e
, onde
e
são os conjuntos de pontos de acumulação de
e
, respectivamente. Sejam, então,
e
, chamamos de limites iterados as expressões
e
. Chamamos, ainda, de limite duplo a expressão
Exemplos
Acima atentamos para o fato de que os limites iterados e duplo nem sempre tem resultados iguais. Aliás, pode-se adicionar o fato de que os limites iterados nem sempre existem. Abaixo seguem alguns exemplos de funções e o cálculo dos limites iterados relacionados a essas funções.
Sejam as funções abaixo definidas de forma que,
,
(1)
Temos
e
, de onde segue
e
, ou seja
.
.
(2)
, de onde
.
Mas,
e, portanto,
.
.
(3)
,
Temos
, mas
.
Deve-se atentar ao fato de que os limites iterados nem sempre são iguais e, mesmo que sejam, isso não é condição suficiente para garantir que o limite duplo também o seja. Tomemos o seguinte exemplo,
(4)
[1]
Oras,
, logo
Mas o limite duplo em torno do caminho
é dado por,
![{\displaystyle \lim _{{\Big (}(x,y)\to (0,0)\,:\,y=x{\Big )}}{\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}+x^{2}}}={\frac {1}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32d6222b75e628415734538a69c3d876d3ecd10e)
Troca da ordem dos operadores de limite
Já vimos que a operação de limites não é comutativa. Existem, contato, algumas condições que permitem a troca de operadores de limites.[2]
Proposição
Seja
uma função de um subconjunto
em
e
, onde
são espaços métricos. Se
(i)
(ii) para cada
então
.
DEMONSTRAÇÃO
|
Como , então, da definição,
, .
Usando o fato de que e a continuidade da função norma, então .
Segue que , de modo que .
|
Teorema do intercâmbio de limites
Seja...
DEMONSTRAÇÃO
|
dssdsdds|}
Referências
- ↑ Stewart, James (2008). «Capítulo 15.2 Limites e Continuidade». Cálculo Multivariável 6ª ed. [S.l.: s.n.] ISBN 0495011630
- ↑ Zoran Kadelburg; Milosav M. Marjanovi´ (2005). «Interchanging Two Limits» (PDF). THE TEACHING OF MATHEMATICS. VIII: 15-29. Consultado em 14 de dezembro de 2014
SÉRIES DUPLAS
sddds
|