SEQUÊNCIA DUPLA
Seja uma função
, ou seja, uma função cujo domínio são os pares
, com
. Suponha, então, uma rede limitada à esquerda e acima com os termos
, conforme ilustrado abaixo
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Denotamos por
a sequência dupla dessa função.
O valor do termo
dessa sequência, correspondente à posição
, é chamado de
termo da sequência dupla.
É fácil notar que, como a sequência é definida em
,
e
.
Convergência
Dizemos que uma sequência dupla é convergente se
.
Assim,
é convergente se
. Como
é único, ele é chamado de limite
duplo de
e é denotado por
.
Teorema do limite em sequências duplas
Tome
, isso implica em
(1)
(2)
(3)
(4) seja
,
e
Critério de Cauchy para Convergência
Uma sequência dupla é convergente se e somente se é uma sequência dupla de Cauchy.
DEMONSTRAÇÃO
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Imediato.
Seja uma sequência dupla de Cauchy, tome
as sequências diagonais , para .
Oras, é uma sequência de Cauchy. A prova segue, então,
do Critério de Cauchy de uma variável.
Seja e
Como \'{e} Cauchy, e
Pela desigualdade triangular
. Logo, converge para .
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Referências