Диффеоморфизм
Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/51/Diffeomorphism_of_a_square.svg/220px-Diffeomorphism_of_a_square.svg.png)
Определение
правитьДиффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение гладкого многообразия в гладкое многообразие , обратное к которому тоже является гладким.
Обычно под гладкостью понимается -гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса при любом натуральном .
Примеры
правитьПростейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.
Связанные определения
править- Если для и существует диффеоморфизм , то говорят, что и диффеоморфны.
- Обычно это отношение обозначается .
- Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.
- Множество диффеоморфизмов многообразия в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов и обозначаемую .
- Отображение называется локальным диффеоморфизмом в точке если его сужение на некоторую окрестность точки является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки .
Свойства
править- Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
- Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия (например, экзотическая сфера).
- Взаимно однозначное отображение является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.
См. также
правитьЛитература
править- Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
- Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
- Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
- Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.