Диффеоморфизм

Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Определение

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение $f\colon M\to N$ гладкого многообразия $M$ в гладкое многообразие $N$ , обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается $C^{\infty }$ -гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса $C^{k}$ при любом натуральном $k$ .

Примеры

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определения

Если для $M$ и $N$ существует диффеоморфизм $f\colon M\to N$ , то говорят, что $M$ и $N$ диффеоморфны.
- Обычно это отношение обозначается $M\cong N$ .
- Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.

Множество диффеоморфизмов многообразия $M$ в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов $M$ и обозначаемую $\operatorname {Diff} \,M$ .

Отображение $f\colon M\to N$ называется локальным диффеоморфизмом в точке $x\in M$ если его сужение на некоторую окрестность точки $x$ является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки $y=f(x)\in N$ .

Свойства

Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
- Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия (например, экзотическая сфера).
Взаимно однозначное отображение $f\colon M\to N$ является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. также

Гомеоморфизм

Литература

Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.
Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.