Теория функций вещественной переменной: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bezik (обсуждение | вклад) подготовка к переименованию (лексика наиболее авторитетных источников — БРЭ, БСЭ, МЭ; см. договорённость Обсуждение проекта:Математика/Архив/2015-2017#Переменный, переменное, переменная); пометка некоторых сомнительных вещей |
DimaBot (обсуждение | вклад) м Бот: оформление Ш:БРЭ |
||
| (не показано 20 промежуточных версий 8 участников) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
'''Теория функций вещественной переменной''' ('''ТФВП''', или '''теория функций действительного переменного''', '''ТФДП''') — раздел [[Математический анализ|математического анализа]], изучающий вопросы представления и приближения [[Функция (математика)|функций]], их локальные и глобальные свойства. При этом, в отличие от классического дифференциального и интегрального исчисления, ТФВП опирается на [[Теория множеств|теорию множеств]] и [[Теория меры|теорию меры]], широко использует их понятия и методы, что позволило значительно обобщить классические результаты, дать им строгое обоснование и получить новые результаты{{sfn |Математическая энциклопедия|1985|с=688—690|name=ME}}. |
|||
'''Теория функций вещественной переменной''' (''теория функций действительного переменного'') — раздел [[анализ (раздел математики)|анализа]], нацеленный на углублённое изучение два понятия [[математический анализ|«классического» математического анализа]]: [[производная (математика)|производную]] и [[интеграл]]<ref name="Математик (математический анализ и его приложения)">{{cite book|title=Человек--знаковая система|url=https://books.google.com/books?id=F1zvAAAAMAAJ|year=1988|publisher=Молодая гвардия|quote=Математический анализ в узком смысле включает теорию функций вещественного переменного, теорию функций комплексного переменного, гармонический анализ и функциональный анализ. <p>Теория функций вещественного переменного занимается углубленным изучением фундаментальных понятий классического анализа — производной и интеграла. К ней относится знаменитый пример непрерывной функции (К.}}<br>{{cite web|url=http://genling.ru/books/item/f00/s00/z0000022/st059.shtml|title=Математик (математический анализ и его приложения). Е. М. Дынькин (1988 - - Мир профессий. Человек - знаковая система)}}</ref>{{Неавторитетный источник}}<!--получается, что изучает то же, что и классический матанализ — дифференциальное и интегральное исчисление, только «углублённо»; лучше взять определения из БСЭ и МЭ-->. |
|||
Классический анализ XVII—XIX веков в основном ограничивался исследованием [[Гладкая функция|гладких]] или [[Кусочно-гладкая функция|кусочно-гладких функций]]. Во второй половине XIX века выяснилось, что практический интерес представляют и более общие классы функций; выяснилось также, что казавшиеся интуитивно очевидными такие понятия, как [[Непрерывная функция|непрерывность]], [[длина кривой]] или [[площадь поверхности]], требуют более строгого определения{{sfn |Математика, её содержание, методы и значение|1956|с=4}}. Проблема была решена с появлением [[Мера Лебега|меры Лебега]] и теоретико-множественного подхода к понятию функции как [[Бинарное отношение|бинарному отношению]]<ref name=ME/>. Новый фундамент анализа позволил сохранить все накопленные ранее знания (хотя часть формулировок пришлось уточнить) и доказать ряд новых глубоких теорем, таких как [[лемма Гейне — Бореля]], [[теорема Асколи — Арцела]], [[теорема Вейерштрасса — Стоуна]], [[лемма Фату]], [[теорема Лебега о мажорируемой сходимости]] и многие другие. |
|||
Часть фактов, теперь являющихся частью теории функций вещественной переменной, были открыты ещё в XIX веке, но в рамках «классического» анализа они не могли быть объяснены<ref name="ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ - PDF">{{cite web|url=https://docplayer.ru/34926954-Teoriya-funkciy-deystvitelnoy-peremennoy.html|title=ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ (PDF)|publisher=МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ, СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ|author=В Д Погребной|location=Сумы, [[Сумский государственный университет]]}}</ref>{{нет в источнике}}. Например, к таким фактам относилась предложенная немецким математиком [[Вейерштрасс, Карл|Карлом Вейерштрассом]] [[функция Вейерштрасса]], которая является непрерывной, но при этом ни в одной точке не имеет производной<ref name="Математик (математический анализ и его приложения)" /><ref name="ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ | Энциклопедия Кругосвет">{{cite web|url=https://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/FUNKTSI_TEORIYA.html|title=ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ|website=Энциклопедия Кругосвет}}</ref>. |
|||
ТФВП тесно связана с такими разделами математики, как [[геометрия]], [[линейная алгебра]], [[функциональный анализ]], [[топология]] и др.{{sfn |Натансон|1974|с=7}} |
|||
Таким образом, теория функций вещественной переменной развивает результаты «классического» математического анализа и обобщает его понятия, являясь как бы следующим за ним этапом развития [[анализ (раздел математики)|анализа]] в его теперешнем широком понимании<ref name="ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ - PDF" />. |
|||
== Состав ТФВП == |
|||
Среди достижений теории функций вещественной переменной было создание французским математиком [[Лебег, Анри Леон|Анри Лебегом]] на рубеже XX века стройной теории интегрирования<ref name="Математик (математический анализ и его приложения)" /><ref name="ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ | Энциклопедия Кругосвет" />. На его теорию интегрирования опирается, в частности, вся современная [[математическая физика]]<ref name="Математик (математический анализ и его приложения)" />. |
|||
В состав ТФВП входят различные подразделы, среди которых как основные можно выделить три{{sfn |Математическая энциклопедия|1985|с=689}}{{sfn|БРЭ}}: |
|||
# Дескриптивная теория функций. В ней изучаются общие свойства классов функций, полученных в результате [[Предел (математика)|предельных переходов]]. В этом подразделе, в частности, были открыты [[Классы Бэра|классы функций Бэра]], тесно связанные с классификацией [[Борелевская сигма-алгебра|борелевских множеств]]. |
|||
# Метрическая теория функций. Она изучает свойства функций на основе понятия [[Мера множества|лебеговой меры множества]] (введённой [[Лебег, Анри Леон|Анри Лебегом]] в 1902 году) и теории [[Интеграл Лебега|интеграла Лебега]]. Кроме функций, здесь изучаются свойства [[Производная (математика)|производных]], интегралов, [[Функциональный ряд|функциональных рядов]], строится общая теорию суммирования [[Ряд (математика)|рядов]] и [[Последовательность|последовательностей]]. Место гладких функций заняли гораздо более широкие классы [[Измеримая функция|измеримых]], [[Суммируемая функция|суммируемых]] и [[Обобщённая функция|обобщённых функций]]. |
|||
# [[Теория приближений|Теория приближения функций]] (например, [[многочлен]]ами)<ref>{{БРЭ |статья=Приближение функций|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/3166096|архив=https://web.archive.org/web/20221201162044/https://bigenc.ru/mathematics/text/3166096|архив дата=2022-12-01}}</ref>. |
|||
== См. также == |
== См. также == |
||
* [[Теория функций комплексной переменной]] |
|||
* [[Теория функций комплексной переменной]]<br>ТФДП (теория функций вещественной переменной) и ТФКП (теория функций комплексной переменной) образуют теорию функций<ref name="ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ | Энциклопедия Кругосвет">{{cite web|url=https://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/FUNKTSI_TEORIYA.html|title=ФУНКЦИЙ ТЕОРИЯ|website=Энциклопедия Кругосвет}}</ref>{{Неавторитетный источник}}<!--В более качественных энциклопедиях ТФ=ТФВП, а ТФКП = это только ТФКП-->. |
|||
* [[Функциональный анализ]] |
* [[Функциональный анализ]] |
||
== Примечания == |
== Примечания == |
||
{{примечания}} |
{{примечания}} |
||
== Литература == |
|||
* {{книга|автор=[[Натансон, Исидор Павлович|Натансон, И. П.]] |ref=Натансон ||издание=3-е изд |страниц=484 |
|||
|заглавие=Теория функций вещественной переменной |место=М. |издательство=Наука| год=1974}} |
|||
* {{книга|автор= |ref=Математика, её содержание, методы и значение ||страниц=336 |том=3 |
|||
|часть=Теория функций действительного переменного |место=М. |издательство=АН СССР| год=1956 |
|||
|заглавие=Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах), глава XV}} |
|||
* {{книга|автор=[[Фролов, Николай Адрианович|Фролов Н. А.]] |ref=Фролов ||издание=2-е изд |страниц=172 |
|||
|заглавие=Теория функций действительного переменного |место=М. |издательство=Учпедгиз| год=1961}} |
|||
* {{книга |часть=Функций действительного переменного теория |ref=Математическая энциклопедия |
|||
|заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |том=5 |место=М. |год=1985 |
|||
|издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }} |
|||
== Ссылки == |
|||
* {{cite web |url=https://docplayer.ru/34926954-Teoriya-funkciy-deystvitelnoy-peremennoy.htm |author=Погребной В. Д. |title=Теория функций действительной переменной. Конспект лекций (PDF) }}{{Недоступная ссылка}} |
|||
* {{БРЭ |статья=Теория функций |автор= |ref=БРЭ|ссылка=https://old.bigenc.ru/mathematics/text/4725649|архив=https://web.archive.org/web/20221024070303/https://bigenc.ru/mathematics/text/4725649|архив дата=2022-10-24}} |
|||
* {{cite web|title=Функций теория |website=Энциклопедия Кругосвет |accessdate=2020-12-21 |
|||
|url=https://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/matematika/FUNKTSI_TEORIYA.html }} |
|||
{{Внешние ссылки}} |
|||
[[Категория:Математический анализ]] |
[[Категория:Математический анализ]] |
||
Текущая версия от 10:29, 13 июля 2024
Теория функций вещественной переменной (ТФВП, или теория функций действительного переменного, ТФДП) — раздел математического анализа, изучающий вопросы представления и приближения функций, их локальные и глобальные свойства. При этом, в отличие от классического дифференциального и интегрального исчисления, ТФВП опирается на теорию множеств и теорию меры, широко использует их понятия и методы, что позволило значительно обобщить классические результаты, дать им строгое обоснование и получить новые результаты[1].
Классический анализ XVII—XIX веков в основном ограничивался исследованием гладких или кусочно-гладких функций. Во второй половине XIX века выяснилось, что практический интерес представляют и более общие классы функций; выяснилось также, что казавшиеся интуитивно очевидными такие понятия, как непрерывность, длина кривой или площадь поверхности, требуют более строгого определения[2]. Проблема была решена с появлением меры Лебега и теоретико-множественного подхода к понятию функции как бинарному отношению[1]. Новый фундамент анализа позволил сохранить все накопленные ранее знания (хотя часть формулировок пришлось уточнить) и доказать ряд новых глубоких теорем, таких как лемма Гейне — Бореля, теорема Асколи — Арцела, теорема Вейерштрасса — Стоуна, лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости и многие другие.
ТФВП тесно связана с такими разделами математики, как геометрия, линейная алгебра, функциональный анализ, топология и др.[3]
Состав ТФВП
[править | править код]В состав ТФВП входят различные подразделы, среди которых как основные можно выделить три[4][5]:
- Дескриптивная теория функций. В ней изучаются общие свойства классов функций, полученных в результате предельных переходов. В этом подразделе, в частности, были открыты классы функций Бэра, тесно связанные с классификацией борелевских множеств.
- Метрическая теория функций. Она изучает свойства функций на основе понятия лебеговой меры множества (введённой Анри Лебегом в 1902 году) и теории интеграла Лебега. Кроме функций, здесь изучаются свойства производных, интегралов, функциональных рядов, строится общая теорию суммирования рядов и последовательностей. Место гладких функций заняли гораздо более широкие классы измеримых, суммируемых и обобщённых функций.
- Теория приближения функций (например, многочленами)[6].
См. также
[править | править код]Примечания
[править | править код]- ↑ 1 2 Математическая энциклопедия, 1985, с. 688—690.
- ↑ Математика, её содержание, методы и значение, 1956, с. 4.
- ↑ Натансон, 1974, с. 7.
- ↑ Математическая энциклопедия, 1985, с. 689.
- ↑ БРЭ.
- ↑ Приближение функций : [арх. 1 декабря 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
Литература
[править | править код]- Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд. — М.: Наука, 1974. — 484 с.
- Теория функций действительного переменного // Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах), глава XV. — М.: АН СССР, 1956. — Т. 3. — 336 с.
- Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е изд. — М.: Учпедгиз, 1961. — 172 с.
- Функций действительного переменного теория // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
Ссылки
[править | править код]- Погребной В. Д. Теория функций действительной переменной. Конспект лекций (PDF). (недоступная ссылка)
- Теория функций : [арх. 24 октября 2022] // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
- Функций теория. Энциклопедия Кругосвет. Дата обращения: 21 декабря 2020.
 | |
|---|---|
| Словари и энциклопедии |
