Точка перегиба

График функции y = x³ с точкой перегиба (0, 0), также являющейся седловой точкой.

Корни, стационарные точки, точки перегиба и выпуклость кубического многочлена x³ − 3x² − 144x + 432 (чёрная линия) и его первой и второй производных (красная и синяя линии).

Точка перегиба — точка плоской кривой, в которой её ориентированная кривизна меняет знак. Если кривая является графиком функции, то в этой точке выпуклая часть функции отделяется от вогнутой (то есть вторая производная функции меняет знак).

Определения

Точка (простого) перегиба регулярной кривой — это такая точка этой кривой, в которой касательная к кривой имеет с ней соприкосновение второго порядка и разбивает кривую, то есть точки кривой, лежащие в некоторой окрестности данной точки по разные стороны от этой точки, лежат также по разные стороны от касательной. Если кривая 2-регулярна, то условие заменяется на следующее: ориентированная кривизна кривой при переходе через точку перегиба изменяет знак. Точкой высшего (вырожденного) перегиба кривой называется такая её точка, касательная к кривой в которой имеет с ней соприкосновение, порядок которого не ниже трёх, и касательная разбивает кривую.

Условие смены знака ориентированной кривизны не равносильно разбиению кривой на вогнутую и выпуклую часть. Так, в случае точки возврата кривая может не иметь касательной. Для исключения этого вышеприведённых определениях требуется регулярность кривой. Более интересный случай — функция $y=x^{5}(1+\sin ^{2}{\frac {1}{x}})$ при $x\neq 0,y=0$ при $x=0$, которая в точке 0 касается оси x и пересекает её, но меняет знак вблизи нуля бесконечное число раз; здесь даже существует вторая непрерывная производная. Для исключения такого случая требуют, чтобы функция имела изолированный экстремум (см. ниже).

Точка кривой называется точкой распрямления, если кривизна кривой в этой точке равна нулю. Иногда точку распрямления кривой, не являющуюся точкой перегиба этой кривой, называют параболической точкой распрямления.

Дифференцируемая функция имеет точку перегиба $(x,f(x))$ тогда и только тогда, когда её первая производная, $f'$, имеет изолированный экстремум в точке $x$ (это не то же самое, что $f$ имеет экстремум в этой точке). То есть в некоторой окрестности точки $x$ имеется одна и только одна точка, в которой $f'$ имеет (локальный) минимум или максимум. Если все экстремумы функции $f'$ изолированы, то точка перегиба — это точка на графике $f$, в которой касательная пересекает кривую.

Высшей (вырожденной) вершиной регулярной кривой называется такая её точка, в которой соприкасающаяся окружность имеет с ней касание, порядок которого выше третьего.

Восходящая точка перегиба — это точка перегиба, где производная имеет локальный минимум, и нисходящая точка перегиба— это точка перегиба, где производная имеет локальный максимум.

Для алгебраической кривой несингулярная точка является точкой перегиба тогда и только тогда, когда кратность точки пересечения касательной с кривой нечётна и больше двух.

Свойства

Точка перегиба $m$ однозначно характеризуется двумя свойствами:

• в точке $m$ кривая имеет единственную касательную,
• в достаточно малой окрестности точки $m$ кривая расположена внутри одной пары противоположных углов, образуемых касательной и нормалью.

Если кривая задана как график дифференцируемой функции $f$, точка перегиба является точкой экстремума для $f'$.

Необходимое и достаточное условия

График функции f(x) = sin(2x) от −π/4 до 5π/4. Заметьте, вторая производная функции f равна f″(x) = −4sin(2x). Касательная отражена зелёным цветом, где кривая выпукла (под касательной), синим, где кривая вогнута (выше касательной), и красным цветом в точках перегиба 0, π/2 и π

Если $x$ является точкой перегиба для $f$, то вторая производная $f''(x)$ равна нулю, если существует, но это условие не является достаточным. Требуется, чтобы наименьший порядок ненулевой производной (выше второй) был нечётным (третья, пятая и т. д. производные). Если наименьший порядок ненулевой производной чётен, точка не является точкой перегиба, а является параболической точкой распрямления . В алгебраической геометрии, однако, как точки перегиба, так и точки спрямления обычно называют точками перегиба.

Определение предполагает, что $f$ имеет ненулевую производную более высокого порядка по $x$, которая не обязательно существует. Но если таковая существует, из определения следует, что знак $f'(x)$ постоянен по обеим сторонам от $x$ в окрестности точки $x$.

Достаточное условие точки перегиба:

1) Достаточным условием точки перегиба является:

Если $f(x)$ $k$ раз непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки $x$, где $k$ нечётно и $k\geq 3$, $f^{(n)}(x_{0})=0$ для $n=2,\dots ,k-1$ и $f^{(k)}(x_{0})\neq 0$, то $x_{0}$ является точкой перегиба $f(x)$.

2) Другое достаточное условие требует, чтобы $f''(x+\varepsilon )$ и $f''(x-\varepsilon )$ имели разные знаки в окрестности точки x при условии, что в данной точке существует касательная.

Классификация точек перегиба

Точки перегиба можно классифицировать согласно производной $f'(x)$:

• если $f'(x)$ равно нулю, точка является стационарной точкой перегиба;
• если $f'(x)$ не равно нулю, точка является нестационарной точкой перегиба.

y = x⁴ — x имеет вторую производную в точке (0,0), но она не является точкой перегиба, поскольку четвёртая производная является первым ненулевым порядком производной (третья производная равна нулю).

Примером седловой точки является точка $(0,0)$ графика $y=x^{3}$. Касательной служит ось $x$, и она разделяет график в этой точке.

Нестационарные точки перегиба можно продемонстрировать графиком функции $y=x^{3}$, если его чуть повернуть относительно начала координат. Касательная в начале координат всё ещё делит график на две части, но градиент не равен нулю.

Функции с разрывами

Некоторые функции меняют выпуклость/вогнутость в некоторой точке, но не имеют в этой точке перегиба. Вместо этого они могут менять кривизну при переходе вертикальной асимптоты или в точке разрыва. Возьмём, например, функцию $2x^{2}/(x^{2}-1)$. Она выпукла при $|x|>1$ и вогнута при $|x|<1$. Однако у этой функции нет точки перегиба, поскольку $1$ и $-1$ не принадлежат области определения функции.

См. также

• Критическая точка
• Экологический порог
• Конфигурация Гессе образована девятью точками перегиба эллиптической кривой
• Стрельчатая S-образная арка, архитектурная форма с точками перегиба
• Вершина кривой, локальный минимум или максимум кривизны

Литература

• Е.В. Шикин, М.М. Франк-Каменецкий. Кривые на плоскости и в пространстве (справочник). — Москва: «ФАЗИС», 1997. — ISBN 5-7036-0027-8, ББК 22.15.
• I.N. Bronshtein, K.A. Semendyayev, G. Musiol, H. Muehlig. Handbook of Mathematics. — 5. — Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2005. — ISBN 978-3-540-72121-5.
• Л. Д. Кудрявцев. Гл. 1. Дифференциальное исчисление функций одного переменного // Математический анализ. — Москва: «Высшая школа», 1981. — Т. 1. — С. 190—195.
• Г. М. Фихтенгольц. Гл. IV. Исследование функций с помощью производных // Курс дифференциального и интегрального исчисления. — 8-е. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 1. — ISBN 5-9221-0156-0.
• П. К. Рашевский. Курс дифференциальной геометрии. — Москва, Ленинград: Государственное издательство техническо-теоретической литературы, 1950.
• Weisstein, Eric W. Inflection Point (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Point of inflection", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

Ссылки

• Inflection Points of Fourth Degree Polynomials