Связное пространство: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
РобоСтася (обсуждение | вклад) м checkwiki fixes (1, 2, 9, 17, 22, 26, 38, 48, 50, 52, 54, 64, 65, 66, 76, 81, 86, 88, 89, 101) |
|||
(не показано 10 промежуточных версий 5 участников) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
{{Не путать|Односвязное пространство}} |
{{Не путать|Односвязное пространство|односвязным пространством}} |
||
[[Файл:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|<span style=" |
[[Файл:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|<span style="background-color:#99ff99;">Множество ''A''</span> связно, а <span style="background-color:#9999ff;">множество ''B''</span> несвязно.]] |
||
'''Связное пространство''' — |
'''Связное пространство''' — [[топологическое пространство]], которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых [[Открытое множество|открытых]] подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие [[Линейно связное пространство|линейной связности]]. |
||
== Определение == |
== Определение == |
||
⚫ | |||
Пустое пространство считается несвязным. |
|||
Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения. |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
Непустое топологическое пространство, которое не является ''несвязным'', называется ''связным''. |
|||
⚫ | |||
=== Эквивалентные определения === |
=== Эквивалентные определения === |
||
Пусть |
Пусть <math>X</math> — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны: |
||
# |
# <math>X</math> связно. |
||
# |
# <math>X</math> нельзя разбить на два непустых непересекающихся [[Замкнутое множество|замкнутых]] подмножества. |
||
# Единственные подмножества |
# Единственные подмножества <math>X</math>, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство <math>X</math>. |
||
# Единственные подмножества с пустой [[Граница (топология)|границей]] — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство |
# Единственные подмножества с пустой [[Граница (топология)|границей]] — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство <math>X</math>. |
||
# |
# <math>X</math> не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого. |
||
# Единственными непрерывными функциями из |
# Единственными непрерывными функциями из <math>X</math> в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы. |
||
== Связанные определения == |
== Связанные определения == |
||
* |
* Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его '''компонентами связности''', '''связными компонентами''' или просто '''компонентами.''' |
||
** Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется |
** Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется [[Вполне несвязное пространство|'''вполне несвязным''']]. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство <math>\mathbb{Q}</math> рациональных чисел на числовой прямой и [[канторово множество]]. |
||
* Если существует [[база топологии]] пространства <math>X</math>, состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства <math>X</math> и само пространство <math>X</math> (в этой топологии) называются |
* Если существует [[база топологии]] пространства <math>X</math>, состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства <math>X</math> и само пространство <math>X</math> (в этой топологии) называются [[Локально связное пространство|'''локально связными''']]. |
||
* Связное [[компактное пространство|компактное]] [[хаусдорфово пространство]] называется ''континуумом''. |
* Связное [[компактное пространство|компактное]] [[хаусдорфово пространство]] называется '''континуумом'''. |
||
* Пространство <math>X</math>, для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> которого существуют открытые непересекающиеся множества <math>U \ni x</math> и <math>V \ni y</math> такие, что <math>X = U \cup V</math>, называется ''вполне раздельным''.{{Нет АИ|23|2|2018}} |
* Пространство <math>X</math>, для любых двух различных точек <math>x</math> и <math>y</math> которого существуют открытые непересекающиеся множества <math>U \ni x</math> и <math>V \ni y</math> такие, что <math>X = U \cup V</math>, называется '''вполне раздельным'''.{{Нет АИ|23|2|2018}} Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества <math>\mathbb{Q}</math>, введём на нём отношение эквивалентности по правилу <math>q \sim p \Leftrightarrow q = p,\; q \neq 0,\; p \neq 0</math>. [[Факторпространство]] по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
* В любом топологическом пространстве |
* В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные. |
||
* В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого |
* В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую [[граница (топология)|границу]]. |
||
** Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами |
** Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто '''открыто-замкнутыми'''. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством. |
||
* Образ связного множества при [[непрерывное отображение|непрерывном отображении]] связен. |
* Образ связного множества при [[непрерывное отображение|непрерывном отображении]] связен. |
||
* Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, [[инвариант (математика)|инвариантное]] относительно [[гомеоморфизм]]ов. |
* Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, [[инвариант (математика)|инвариантное]] относительно [[гомеоморфизм]]ов. |
||
Строка 61: | Строка 59: | ||
* [[Односвязное пространство]] |
* [[Односвязное пространство]] |
||
* [[Экстремально несвязное пространство]] |
* [[Экстремально несвязное пространство]] |
||
{{Топология|state=expanded}} |
|||
{{нет ссылок|дата=2022-05-29}} |
|||
[[Категория:Общая топология]] |
[[Категория:Общая топология]] |
Текущая версия от 04:32, 14 сентября 2024
Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.
Определение
[править | править код]Непустое топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. Связное пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.
Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.
Говорят, что подмножество топологического пространства является связным, если оно связано как пространство с индуцированной топологией.
Эквивалентные определения
[править | править код]Пусть — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
- связно.
- нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
- Единственные подмножества , являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество и всё пространство .
- Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество и всё пространство .
- не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
- Единственными непрерывными функциями из в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.
Связанные определения
[править | править код]- Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его компонентами связности, связными компонентами или просто компонентами.
- Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
- Если существует база топологии пространства , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально связными.
- Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
- Пространство , для любых двух различных точек и которого существуют открытые непересекающиеся множества и такие, что , называется вполне раздельным.[источник не указан 2395 дней] Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества , введём на нём отношение эквивалентности по правилу . Факторпространство по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.
Свойства
[править | править код]- В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
- В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую границу.
- Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто открыто-замкнутыми. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
- Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
- Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
- Замыкание связного подмножества связно.
- Более того, всякое «промежуточное» подмножество () тоже связно. Другими словами, если связное подмножество плотно в , то множество тоже связно.
- Пусть — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством . Тогда множество
- тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
- Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
- Каждая компонента пространства является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества пространства — это максимальные связные подмножества множества .
- Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
- Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
- В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
- Любое линейно связное пространство связно.
- Обратное неверно; например замыкание графика функции связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок на оси ординат).
Примеры
[править | править код]- Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
- Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
- Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.
Вариации и обобщения
[править | править код]См. также
[править | править код]В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |