Кольцо Эрмана

Кольцо Эрмана — в голоморфной динамике, один из типов неподвижной или периодической компоненты связности области Фату. Такая компонента связности топологически эквивалентна кольцу, а динамика отображения (или его итерации первого возвращения, в случае периодической компоненты) должна быть сопряжена иррациональному повороту этого кольца.

Конструкция

Одним из способов построения отображения, одна из компонент множества Фату которого оказывается кольцом Эрмана, основан на рассмотрении произведений Бляшке. А именно, произведения Бляшке — отображения вида

$f(z)=\lambda \prod _{j=1}^{n}{\frac {z-a_{j}}{1-{\bar {a_{j}}}z}},\quad |\lambda |=1,\quad |a_{j}|\neq 1,\,$

сохраняют единичную окружность $\{|z|=1\}$, и сохраняют ориентацию на ней тогда и только тогда, когда вне единичного диска имеется чётное число точек $a_{j}$.

Подбором точек $a_{j}$ можно добиться, чтобы ограничение отображения f на эту окружность было диффеоморфизмом с диофантовым числом вращения. Теорема Эрмана-Йоккоза утверждает в таком случае, что f аналитически сопряжено соответствующему повороту. Такое локальное сопряжение далее распространяется до границы содержащей единичную окружность компоненты Фату — оказывающейся, тем самым, кольцом Эрмана.

Примером реализации такой конструкции может служить рациональное отображение степени 3,

$f(z)=e^{2\pi it}\cdot {\frac {z^{2}(z-4)}{1-4z}},$

где константа $t=0.6151732\dots$ выбирается так, чтобы число вращения ограничения f на единичную окружность равнялось бы $({\sqrt {5}}-1)/2$.

Литература

• Дж. Милнор, Голоморфная динамика, Ижевск: РХД, 2000, с. 189—194.