Неподвижная точка
Неподвижная точка в математике — точка, которую заданное отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения .
К примеру, отображение имеет неподвижные точки и , поскольку и .
Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.
Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения
- ,
называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода 1).
Притягивающие неподвижные точки
Неподвижная точка x=f(x) отображения f — притягивающая, если итерации любой начальной точки y, достаточно близкой к x, будут к x стремиться:
- .
(При этом, обычно, требуют, чтобы итерации y не покидали некоторой большей окрестности точки x — то есть, чтобы точка x была асимптотически устойчива.)
В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие на производную: .
Метод Ньютона
Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: искомое решение оказывается притягивающей неподвижной точкой построенного отображения, и потому может быть найдено как предел (очень быстро сходящейся) последовательности итераций.
Наиболее известное применение этого метода нахождение квадратного корня из числа a>0 как последовательности итераций отображения
- .
См. также
- Теорема Банаха о неподвижной точке
- Теорема Брауэра
- Особая точка дифференциального уравнения
- Теорема Шаудера — Тихонова
- Комбинатор неподвижной точки
- шаблон не поддерживает такой синтаксис
- Теорема Клини о неподвижной точке
Это заготовка статьи по математике. Помогите Википедии, дополнив её. |