Версия для печати больше не поддерживается и может содержать ошибки обработки. Обновите закладки браузера и используйте вместо этого функцию печати браузера по умолчанию.
У этого термина существуют и другие значения, см.
Сходимость .
Сходи́мость в
L
p
{\displaystyle L^{p}}
в функциональном анализе , теории вероятностей и смежных дисциплинах — вид сходимости измеримых функций или случайных величин .
Определение
Пусть
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle (X,{\mathcal {F}},\mu )}
— пространство с мерой . Тогда пространство
L
p
≡
L
p
(
X
,
F
,
μ
)
{\displaystyle L^{p}\equiv L^{p}(X,{\mathcal {F}},\mu )}
измеримых функций, таких что их
p
{\displaystyle p}
-я степень, где
p
⩾
1
{\displaystyle p\geqslant 1}
, интегрируема по Лебегу , является метрическим . Метрика в этом пространстве имеет вид:
d
(
f
,
g
)
=
‖
f
−
g
‖
p
≡
(
∫
X
|
f
(
x
)
−
g
(
x
)
|
p
μ
(
d
x
)
)
1
/
p
{\displaystyle d(f,g)=\|f-g\|_{p}\equiv \left(\,\int \limits _{X}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mu (dx)\,\right)^{1/p}}
.
Пусть дана последовательность
{
f
n
}
n
=
1
∞
⊂
L
p
{\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}}
. Тогда говорят, что эта последовательность сходится в
L
p
{\displaystyle L^{p}}
к функции
f
∈
L
p
{\displaystyle f\in L^{p}}
, если она сходится в метрике , определённой выше, то есть
lim
n
→
∞
‖
f
n
−
f
‖
p
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=0}
.
Пишут:
f
n
⟶
L
p
f
{\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}
.
Иногда также используют обозначение
f
(
x
)
=
l
.
i
.
m
.
n
→
∞
f
n
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\mathop {\mathrm {l.i.m.} } _{n\to \infty }f_{n}(x)}
— от англ. англ. limit in mean .
В терминах теории вероятностей, последовательность случайных величин
{
X
n
}
n
=
1
∞
⊂
L
p
(
Ω
,
F
,
P
)
{\displaystyle \{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}
сходится к
X
{\displaystyle X}
из того же пространства, если
lim
n
→
∞
E
|
X
n
−
X
|
p
=
0
{\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }\mathbb {E} |X_{n}-X|^{p}=0}
.
Пишут:
X
n
⟶
L
p
X
{\displaystyle X_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}X}
.
Терминология
Сходимость в пространстве
L
1
{\displaystyle L^{1}}
называется сходимостью в среднем.
Сходимость в пространстве
L
2
{\displaystyle L^{2}}
называется сходимость в среднеквадратичном.
Свойства сходимости в
L
p
{\displaystyle L^{p}}
Единственность предела. Если
f
n
⟶
L
p
f
{\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}
и
f
n
⟶
L
p
g
{\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}g}
, то
f
=
g
{\displaystyle f=g}
μ
{\displaystyle \mu }
-почти всюду (
P
{\displaystyle \mathbb {P} }
-почти наверное ).
Пространство
L
p
{\displaystyle L^{p}}
полно . Если
‖
f
n
−
f
m
‖
p
→
0
{\displaystyle \|f_{n}-f_{m}\|_{p}\to 0}
при
min
(
n
,
m
)
→
∞
{\displaystyle \min(n,m)\to \infty }
, то существует
f
∈
L
p
{\displaystyle f\in L^{p}}
, такой что
f
n
⟶
L
p
f
{\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}
.
Сходимость в
L
p
{\displaystyle L^{p}}
влечёт сходимость по мере (по вероятности ). Если
f
n
⟶
L
p
f
{\displaystyle f_{n}{\stackrel {L^{p}}{\longrightarrow }}f}
, то
f
n
⟶
μ
f
{\displaystyle f_{n}{\stackrel {\mu }{\longrightarrow }}f}
.