Инвариант Шварца
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Инвариант Шварца (или производная Шварца или шварциан) — дифференциальный оператор вида
где — аналитическая функция. (Иногда используется обозначение .)
Свойства
[править | править код]- Инвариант Шварца дробно-линейной функции равен нулю. Этот легко проверяемый факт является главным свойством инварианта Шварца. В то время как вторая производная измеряет близость функции к линейной, инвариант Шварца выполняет такую же роль для дробно-линейных функций.
- Если — аналитическая функция, а — дробно-линейное отображение, то будет выполняться соотношение , то есть дробно-линейное отображение не меняет инвариант Шварца. С другой стороны, производная Шварца f o g вычисляется по формуле,
- Таким образом выражение[прояснить]
- инвариантно относительно дробно-линейных преобразований.
- Более того, для произвольных, достаточное количество раз дифференцируемых функций f и g
- Введём функцию от двух комплексных переменных
- .
- Рассмотрим выражение
- .
- Тогда производная Шварца выражается как
- Производная Шварца имеет простую формулу для перестановки f и z
- .
- Выражение имеет следующий смысл: мы рассматриваем как координату, а как функцию. Затем вычисляем Шварциан . Мы предполагаем, что поэтому по теореме об обратной функции действительно является локальной координатой, а (используя это наблюдение, последнее свойство доказывается прямым вычислением).
- Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение в аналитических функциях вида . Тогда его два линейно независимых решения и удовлетворяют соотношению .
В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |