Связное пространство
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/Connected_and_disconnected_spaces.svg/250px-Connected_and_disconnected_spaces.svg.png)
Связное пространство — топологическое пространство, которое не может быть представлено как объединение двух или более непересекающихся непустых открытых подмножеств. Связность является важнейшим топологическим инвариантом и обобщает понятие линейной связности.
Определение
[править | править код]Непустое топологическое пространство называется несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых подмножеств. Связное пространство — топологическое пространство, не являющееся несвязным.
Пустое пространство обычно считается несвязным, хотя в литературе по этому поводу имеются разночтения.
Говорят, что подмножество топологического пространства является связным, если оно связано как пространство с индуцированной топологией.
Эквивалентные определения
[править | править код]Пусть — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
- связно.
- нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых подмножества.
- Единственные подмножества , являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество и всё пространство .
- Единственные подмножества с пустой границей — пустое множество и всё пространство .
- не может быть представлено в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
- Единственными непрерывными функциями из в двухточечное множество (с дискретной топологией) являются константы.
Связанные определения
[править | править код]- Каждый элемент топологического пространства содержится в его некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются его компонентами связности, связными компонентами или просто компонентами.
- Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
- Если существует база топологии пространства , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально связными.
- Связное компактное хаусдорфово пространство называется континуумом.
- Пространство , для любых двух различных точек и которого существуют открытые непересекающиеся множества и такие, что , называется вполне раздельным.[источник не указан 2379 дней] Любое вполне раздельное пространство вполне несвязно, однако обратное неверно. Например, рассмотрим пространство, состоящее из двух копий множества , введём на нём отношение эквивалентности по правилу . Факторпространство по этому отношению является вполне несвязным, однако для двух (по определению различных) копий нуля не найдётся двух открытых множеств, удовлетворяющих определению вполне раздельного пространства.
Свойства
[править | править код]- В любом топологическом пространстве одноточечные подмножества — связные.
- В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого и всего пространства) имеет непустую границу.
- Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами и называются просто открыто-замкнутыми. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространством.
- Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
- Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
- Замыкание связного подмножества связно.
- Более того, всякое «промежуточное» подмножество () тоже связно. Другими словами, если связное подмножество плотно в , то множество тоже связно.
- Пусть — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством . Тогда множество
- тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
- Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
- Каждая компонента пространства является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества пространства — это максимальные связные подмножества множества .
- Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
- Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
- В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
- Любое линейно связное пространство связно.
- Обратное неверно; например замыкание графика функции связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок на оси ординат).
Примеры
[править | править код]- Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
- Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
- Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.
Вариации и обобщения
[править | править код]См. также
[править | править код]![]() | В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску). |