Теория функций вещественной переменной

Теория функций вещественной переменной (ТФВП, или теория функций действительного переменного, ТФДП) — раздел математического анализа, изучающий вопросы представления и приближения функций, их локальные и глобальные свойства. При этом, в отличие от классического дифференциального и интегрального исчисления, ТФВП опирается на теорию множеств и теорию меры, широко использует их понятия и методы, что позволило значительно обобщить классические результаты, дать им строгое обоснование и получить новые результаты.

Классический анализ XVII—XIX веков в основном ограничивался исследованием гладких или кусочно-гладких функций. Во второй половине XIX века выяснилось, что практияеский интерес представляют и более общие классы функций; выяснилось также, что казавшиеся интуитивно очевидными такие понятия, как длина кривой или площадь поверхности, требуют более строгого определения. Проблема была решена с появлением меры Лебега и теоретико-множественного подхода к понятию функции как бинарному отношению.. Новый фундамент анализа позволил сохранить все накопленные ранее знания (хотя часть формулировок пришлось уточнить) и доказать ряд новых глубоких теорем, таких как лемма Гейне — Бореля, теорема Асколи — Арцела, теорема Вейерштрасса — Стоуна, лемма Фату, теорема Лебега о мажорируемой сходимости и многие другие.

ТФВП тесно связана с такими разделами математики, как геометрия, линейная алгебра, функциональный анализ, топология и др.

Состав ТФВП

В состав ТФВП входят различные подразделы, среди которых как основные можно выделить:

1. Дескриптивная теория функций. В ней изучаются общие свойства классов функций, полученных в результате предельных переходов. В этом подразделе были открыты [[Классы Бэра|классы функций Бэра, тесно связанные с классификацией борелевских множеств.
2. Метрическая теория функций. Она изучает свойства функций на основе понятия лебеговой меры множества (введенной Анри Лебегом в 1902 году) и теории интеграла Лебега. На основе этих двух понятий — меры и интеграла Лебега — изучаются свойства функций, производных, интегралов, функциональных рядов, строится общая теорию суммирования рядов и последовательностей.
3. Теория приближения функций (например, многочленами).

См. также

• Теория функций комплексной переменной
• Функциональный анализ

Литература

• Натансон, И. П. Теория функций вещественной переменной. — 3-е изд страниц=484. — М.: Наука, 1974.
• Фролов Н. А. Теория функций действительного переменного. — 2-е изд страниц=172. — М.: Учпедгиз, 1961.
• Функций действительного переменного теория // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.

Ссылки

• Погребной В. Д. Теория функций действительной переменной. Конспект лекций (PDF)  (неопр.).
• Функций теория  (неопр.). Энциклопедия Кругосвет. Дата обращения: 21 декабря 2020.