Уравнение Колмогорова — Чепмена для однопараметрического семейства непрерывных линейных операторов
в топологическом векторном пространстве выражает полугрупповое свойство:
![{\displaystyle \mathbf {P} (t+s)=\mathbf {P} (t)\mathbf {P} (s).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60abd31965648f2200cb0bc3bc4c037db5c41b06)
Чаще всего этот термин используется в теории однородных марковских случайных процессов, где
— оператор, преобразующий распределение вероятностей в начальный момент времени в распределение вероятности в момент времени
(
).
Для неоднородных процессов рассматриваются двухпараметрические семейства операторов
, преобразующих распределение вероятностей в момент времени
в распределение вероятности в момент времени
Для них уравнение Колмогорова—Чепмена имеет вид
![{\displaystyle \mathbf {P} (t,s)=\mathbf {P} (t,h)\mathbf {P} (h,s),\;s>h>t>0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1855182137cc57956e32b5eb394ca0e25cf4872)
Для систем с дискретным временем параметры
принимают натуральные значения.
Формально дифференцируя уравнение Колмогорова—Чепмена по
при
получаем прямое уравнение Колмогорова:
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} (t)}{dt}}=\mathbf {P} (t)\mathbf {Q} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc84545e412dc03f81247a523407ec2466ca838e)
где
![{\displaystyle \mathbf {Q} =\lim _{h\to 0}{\frac {\mathbf {P} (h)-\mathbf {1} }{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf9c8534dea7775b7d3e388d27bd6bb5b9b41e9)
Формально дифференцируя уравнение Колмогорова — Чепмена по
при
получаем обратное уравнение Колмогорова
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {P} (t)}{dt}}=\mathbf {Q} \mathbf {P} (t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f17a30aafcde4e3c64c4f958999bd6ec620bbcd4)
Необходимо подчеркнуть, что для бесконечномерных пространств оператор
уже не обязательно непрерывен, и может быть определен не всюду, например, быть дифференциальным оператором в пространстве распределений.
Рассмотрим однородные марковские случайные процессы в
для которых оператор переходных вероятностей
задаётся переходной плотностью
: вероятность перехода из области
в область
за время
есть
. Уравнение Колмогорова—Чепмена для плотностей имеет вид:
![{\displaystyle p(t+s,x,y)=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)p(s,z,y)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c05feb7b1538756744e30f70260e4cb1e87a6e0)
При
переходная плотность
стремится к δ-функции (в смысле слабого предела обобщенных функций):
. Это означает, что
Пусть существует предел (также обобщённая функция)
![{\displaystyle q(x,y)=\lim _{h\to 0}{\frac {p(h,x,y)-\delta (x-y)}{h}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32a9a3d08345fd7eda6d631c0ffa08f303743f2a)
Тогда оператор
действует на функции
, определённые на
как
и прямое уравнение Колмогорова принимает вид
![{\displaystyle {\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}p(t,x,z)q(z,y)\,dz,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d11eed567aa466467733db2f0c2fa1d39b6ddb11)
а обратное уравнение Колмогорова
![{\displaystyle {\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}=\int \limits _{\mathbb {R} ^{n}}q(x,z)p(t,z,y)\,dz.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f367caa44a3deb5afe3d5d4b16f3155fb552aed7)
Пусть оператор
— дифференциальный оператор второго порядка с непрерывными коэффициентами:
![{\displaystyle (\mathbf {Q} f)={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3054f525326567288b4cae3f51c4efc6d936a4a)
(это означает, что
есть линейная комбинация первых и вторых производных
с непрерывными коэффициентами). Матрица
симметрична. Пусть она положительно определена в каждой точке (диффузия). Прямое уравнение Колмогорова имеет вид
![{\displaystyle {\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{i}\partial y^{j}}}(a^{ij}(y)p(t,x,y))-\sum _{j}{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}(b^{j}(y)p(t,x,y)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9919f623cac2144af1e40995b2b8f8e13fdaea65)
Это уравнение называется уравнением Фоккера — Планка. Вектор
в физической литературе называется вектором сноса, а матрица
— тензором диффузии
Обратное уравнение Колмогорова в этом случае
![{\displaystyle {\frac {\partial p(t,x,y)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a^{ij}(x){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{i}\partial x^{j}}}p(t,x,y)+\sum _{j}b^{j}(x){\frac {\partial }{\partial x^{j}}}p(t,x,y).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4ed7c205f79567a0b0185a46dcef25a895e9cf8)
- Вентцель А. Д., Курс теории случайных процессов. — М.: Наука, 1996. — 400 с.
![Перейти к шаблону «External links»](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c9/Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg/14px-Wikipedia_interwiki_section_gear_icon.svg.png) Ссылки на внешние ресурсы |
---|
| |
---|
Словари и энциклопедии | |
---|