Вікіпедія

Множина Жуліа: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
(Переглянути усі неперевірені зміни)
[перевірена версія][перевірена версія]
Наступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Створено шляхом перекладу сторінки «Множество Жюлиа»
 
Немає опису редагування
Рядок 1:
[[Файл:Fractal_julia.png|міні|Множина Жуліа. Точніше, це не сама множина (яка в даному випадку складається з незв'язних точок і не може бути намальована), а точки з її околу. Чим яскравіше точка, тим ближче вона до множини Жуліа і тим більше ітерацій їй потрібно, щоб відійти від нуля на задану велику відстань]]
[[Файл:Julia_set_(highres_01).jpg|міні|Множина Жуліа. Точніше, це не сама множина (яка в даному випадку складається з незв'язних точок і не може бути намальована), а точки з її околу. Чим яскравіше точка, тим ближче вона до множини Жуліа і тим більше ітерацій їй потрібно, щоб відійти від нуля на задану велику відстань]]
[[Файл:Time escape Julia set from coordinate (phi-12, 0).pngjpg|міні|Заповнена множина Жуліа для відображення ''f<sub>c</sub>''(, ''zc'') =''z''<sup>2</sup>- 1 − φ, де φ є [[Золотий перетин|золотим перетином]]. Осьова симетрія свідчить про відсутність уявної складової у вільному члені відображення ''f''(''z<sub>c</sub>'')]]
У {{Нп|Голоморфна динаміка|голоморфній динаміці|ru|Голоморфная динамика}}, '''множина Жуліа''' <math>J(f)</math> раціонального відображення <math>f:\Complex P^1\to \Complex P^1</math> &nbsp;— множина точок, динаміка в околиці яких у певному сенсі нестійка відносно малих збурень початкового положення. У випадку, якщо ''f'' &nbsp;— поліном, розглядають також '''заповнену множину Жуліа''' &nbsp;— множину точок, що не прямують до нескінченності. Звичайна множина Жуліа при цьому є її [[Межа (топологія)|межею]].▼
[[Файл:Julia0,28+0,0113i.png|міні|Заповнена множина Жуліа для відображення ''f''(''z'')=''z''<sup>2</sup>+0,28+0,0113''i''. Завихрення проти годинникової стрілки свідчать про додатну уявну складову у вільному члені відображення ''f''(''z'')]]
▲У {{Нп|Голоморфна динаміка|голоморфній динаміці|ru|Голоморфная динамика}}, '''множина Жуліа''' <math>J(f)</math> раціонального відображення <math>f:\Complex P^1\to \Complex P^1</math> — множина точок, динаміка в околиці яких у певному сенсі нестійка відносно малих збурень початкового положення. У випадку, якщо ''f'' — поліном, розглядають також '''заповнену множину Жуліа''' — множину точок, що не прямують до нескінченності. Звичайна множина Жуліа при цьому є її [[Межа (топологія)|межею]].
 
'''Множина''' '''Фату''' <math>F(f)</math> &nbsp;— доповнення до множини Жуліа. Іншими словами, динаміка ітерування ''f'' на <math>F(f)</math> регулярна, а на <math>J(f)</math> хаотична.
 
Доповнює [[Теорема Пікара|велику теорема Пікара]] про «поведінку аналітичної функції в околі істотно особливої точки».
Рядок 12 ⟶ 11:
 
== Визначення ==
Нехай <math>f:\Complex P^1\to \Complex P^1</math> &nbsp;— раціональне відображення. Множина Фату складається з точок ''z'', таких, що в обмеженні на досить малий окіл ''z'' послідовність ітерацій
 
: <math>(f^n)_{n\in\mathbb{N}}</math>
 
утворює [[Теорема Монтеля|нормальну родину в сенсі Монтеля]]. Множина Жуліа  — доповнення до множини Фату.
 
Це визначення допускає таке еквівалентне переформулювання: множина Фату це множина тих точок, орбіти яких [[Стійкість (динамічні системи)|стійкі за Ляпуновим]]. (Еквівалентність переформулювання неочевидна, але вона випливає з [[Теорема Монтеля|теореми Монтеля]].)
Рядок 22 ⟶ 21:
== Властивості ==
 
* Як випливає з визначень, множина Жуліа завжди [[Замкнута множина|замкнута]], а множина Фату - — [[Відкрита множина|відкрита]].
* Множина Жуліа для відображення {{Нп|Степінь відображення|степеня|ru|Степень отображения}}, більшого 1, завжди непорожня (інакше можна було б вибрати рівномірно збіжну підпослідовність з ітерацій). Стосовно ж множини Фату аналогічне твердження неправильне: існують приклади, в яких множина Жуліа виявляється всією [[Сфера Рімана|сферою Рімана]]. Такий приклад можна побудувати, взявши відображення <math>z\mapsto 2z (mod\, \Z [i])</math> подвоєння на торі <math>\Complex/\Z [i]</math> (динаміка якого, очевидно, скрізь хаотична) і пропустивши його через [[Еліптичні функції Вейєрштрасса|<math>\wp</math>-функцію Веєрштрасса]] <math>\wp: \Complex/\Z [i] \to \Complex P^1 </math>.
* Множина Жуліа є замиканням об'єднання всіх відштовхувальних періодичних орбіт.
Рядок 30 ⟶ 29:
: <math>\ f^{-1}(F(f)) = f(F(f)) = F(f).</math>
 
* Множина Жуліа ''J(F)'' є межею (повного) {{Нп|Басейн тяжіння|басейну тяжіння|ru|Бассейн притяжения}} будь-якої притягальної або суперпритягальної орбіти; окремим випадком цього є твердження, що ''J(F)'' це межа заповненої множини Жуліа (оскільки для поліноміального відображення нескінченність &nbsp;— суперпритягальна нерухома точка, а заповнена множина Жуліа є доповнення до її басейну тяжіння). Крім того, взявши полиноміальне відображення з трьома різними притягальними нерухомими точками, отримуємо приклад трьох відкритих (природно, незв'язних) множин на площині зі спільною межею.
* Якщо відкрита множина <math>U</math> перетинає множину Жуліа, то, починаючи з деякого досить великого ''n'', образ <math>f^n(U\cap J) = f^n(U) \cap J</math> збігається з усією множиною Жуліа <math>J</math>. Іншими словами, ітерації розтягують як завгодно маленький окіл у множині Жуліа на всю множину Жуліа.
* Оскільки зазначене вище розтягнення найчастіше відбувається досить швидко, голоморфні відображення [[Конформне відображення|конформні]], а множина Жуліа [[Інваріантна множина|інваріантна]] щодо динаміки  — вона виявляється такою, що має [[Фрактал|фрактальну структуру]]: її маленькі частини схожі на великі.
* Якщо множина Жуліа відмінна від усієї [[Сфера Рімана|сфери Рімана]], то вона не має [[Внутрішня точка|внутрішніх точок]].
* Для всіх точок ''z'' сфери Рімана, крім, можливо, двох, множина граничних точок послідовності повних прообразів <math>f^{-n}(z)</math> є множиною Жуліа. Ця властивість застосовується в комп'ютерних алгоритмах побудови множини Жуліа.
Рядок 38 ⟶ 37:
 
== Пов'язані поняття ==
Квадратичне відображення <math>z\mapsto P_2(z)</math> заміною координат завжди зводиться до вигляду <math>z\mapsto z^2 +c</math>. Виявляється, що множина Жуліа буде [[Зв'язаний простір|зв'язною]] тоді і тільки тоді, коли критична точка ''z=0'' (або, що те ж саме, її образ ''z=c'') не йде у нескінченність. У разі, якщо ітерації 0 прямують до нескінченності, множина Жуліа (яка збігається, в цьому випадку, з заповненою множиною Жуліа) виявляється гомеоморфною канторовій множині і має міру нуль. У цьому випадку її називають '''пилом Фату''' (незважаючи на назву, яка збиває з пантелику, це саме множина Жуліа &nbsp;— множина хаотичної динаміки!).
 
Множина параметрів ''c'', при яких множина Жуліа квадратичної динаміки зв'язна, називається '''[[Множина Мандельброта|множиною Мандельброта]]'''. Вона також має фрактальну структуру (і є, ймовірно, одним з найбільш знаменитих фракталів).
Рядок 54 ⟶ 53:
 
== Цікаві факти ==
Математики довели, що довільна замкнена фігура на площині може бути як завгодно близько наближена множиною Жуліа для відповідного многочлена. Серед іншого, в якості демонстрації власної техніки, ученим вдалося побудувати досить хороше наближення силуету кота. За словами вчених, їхній приклад наочно демонструє, що динаміка поліноміальних (тобто задаваних многочленами) динамічних систем може бути влаштована максимально різноманітно. Вони кажуть, що запропонований ними приклад буде корисний у теорії таких систем<ref>[http://lenta.ru/news/2012/09/28/fract/ Математики приблизилинаблизили кота множествамимножинами ЖюлиаЖуліа]{{ref-ru}}</ref>
 
== Посилання ==
 
* Мілнор, Дж. Голоморфна динаміка. Ввідні лекції. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures.  &nbsp;— Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2000.  — 320 с. &nbsp;— <nowiki>ISBN 5-93972-006-4</nowiki>.
* [https://web.archive.org/web/20110317020756/http://www.lizardie.com/links/download/fractal-generator Проста програма для генерування множин Жуліа (Windows, 370 кБ)]
* [http://fractalworld.xaoc.ru/Mandelbrot_set_and_Julia_set Множини Мандельброта та Жуліа на сайті FractalWorld]
Рядок 66 ⟶ 65:
[[Категорія:Теорія динамічних систем]]
[[Категорія:Фрактали]]
[[Категорія:Сторінки із неперевіреними перекладами]]
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Множина_Жуліа