Множина Жуліа: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії

(Переглянути усі неперевірені зміни)

[перевірена версія]

[очікує на перевірку]

← Попереднє редагування

Вилучено вміст Додано вміст

ВізуальнийВікірозмітка

Версія за 15:34, 30 грудня 2020 ред. Леонід Олійник (обговорення \| внесок) 255 редагувань Виправлено мовленнєві помилки, додано наголос, змінено посилання, шаблони Мітка: Візуальний редактор ← Попереднє редагування		Поточна версія на 15:59, 11 лютого 2023 ред. скасувати Lxlalexlxl (обговорення \| внесок) Патрульні, Відкочувачі 86 962 редагування →‎Метод сканування межі (BSM)
(Не показані 5 проміжних версій 4 користувачів)
Рядок 1: [[Файл:Fractal_julia.png\|міні\|Множина Жуліа. Точніше, це не сама множина (яка в цьому випадку складається з незв'язних точок і не може бути намальована), а точки з її околу. Чим яскравіше точка, тим ближче вона до множини Жуліа і тим більше ітерацій їй потрібно, щоб відійти від нуля на задану велику відстань]] [[Файл:Julia_set_(highres_01).jpg\|міні\|Множина Жуліа. Точніше, це не сама множина (яка в цьому випадку складається з незв'язних точок і не може бути намальована), а точки з її околу. Чим яскравіше точка, тим ближче вона до множини Жуліа і тим більше ітерацій їй потрібно, щоб відійти від нуля на задану велику відстань]] [[Файл:~~Time escape~~ Julia ~~set from coordinate (phi~~-~~2, 0)~~Menge.~~jpg~~png\|міні\|Заповнена множина Жуліа для відображення <math>f_c, c = 1 - \varphi</math>, де <math>\varphi</math> є [[Золотий перетин\|золотим перетином]]. Осьова симетрія свідчить про відсутність уявної складової у вільному члені відображення <math>f_c</math>)]] У {{Нп\|Голоморфна динаміка\|голоморфній динаміці\|ru\|Голоморфная динамика}}, '''[[Множина\|множина́]] Жуліа́''' <math>J(f)</math> раціонального відображення <math>f:\Complex P^1\to \Complex P^1</math> — множина точок, динаміка в околиці яких у певному сенсі нестійка відносно малих збурень початкового положення. У випадку, якщо <math>f</math> — поліном, розглядають також '''заповнену множину Жуліа''' — множину точок, що не прямують до нескінченності. Звичайна множина Жуліа при цьому є її [[Межа (топологія)\|межею]]. '''Множина~~'''~~ ~~'''~~Фату́''' <math>F(f)</math> — доповнення до множини Жуліа. Іншими словами, динаміка ітерування ''f'' на <math>F(f)</math> регулярна, а на <math>J(f)</math> хаотична. Доповнює [[Теорема Пікара\|велику теорему Пікара]] про «поведінку аналітичної функції в околі істотно особливої точки». Рядок 44: === Метод сканування межі (''BSM'') === Якщо функція <math>f</math> має кілька атракторів (нерухомих або [[Періодична точка\|періодичних притягувальних точок]]), множина Жуліа є межею басейну тяжіння будь-якого з них. На цій властивості заснований алгоритм побудови зображення множини Жуліа, названий «методом сканування межі» (''boundary scanning method'', ''BSM''). Він полягає в такому. Розглянемо сітку прямокутних пікселів. Щоб визначити, чи слід зафарбовувати піксель як такий, що належить множині Жуліа, обчислюється образ кожного з його «кутів» під дією великого числа ітерацій f. Якщо образи далекі один від одного, значить кути належать басейнам різних атракторів. З цього випливає, що межа між басейнами проходить через цей піксель, і він зафарбовується. Перебираючи всі пікселі, отримуємо зображення, що наближає множину Жуліа. Цей метод також можна використовувати й у разі, коли двох атракторів немає, але є диски Зигеля, кільця Ермана або параболічні басейни. (Якщо дві близькі точки залишаються близькими, значить їхні орбіти стійкі за Ляпуновим, і невеликий окіл цих точок належить області Фату; інакше поблизу них є точки множини Жуліа.) Однак, цей метод не працює, коли відображення має лише один атрактор, і майже вся сфера Рімана є його басейном тяжіння. (Наприклад, <math>z\mapsto z^2+i</math>.)<ref name="Saupe">{{Стаття\|автор=D. Saupe\|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070611010435/http://www.inf.uni-konstanz.de/cgip/bib/files/Saupe87.pdf\|archivedate=2007-06-11}}</ref> Рядок 50: === Метод обчислення зворотних ітерацій (IIM) === [[Файл:JSr07885.gif\|Значення c для кожного кадру обчислюються за формулою: <math>c=r\cos a+ir\sin a</math>, де <math>a=(0..2\Pi)</math>, <math>r=0{,}7885</math>.\|міні\|400x400пкс]] Множина Жуліа є замиканням об'єднання всіх повних прообразів будь-якої відштовхувальної нерухомої точки. Отже, якщо є ефективний алгоритм обчислення зворотного відображення <math>f^{-1}</math>і відома хоча б одна відштовхувальна нерухома точка, для побудови множини Жуліа можна послідовно обчислювати її зворотні образи. На кожному кроці у кожної точки є стільки ж прообразів, який степінь f, тому загальне число прообразів зростає експоненціально, і зберігання їх координат вимагає великих обсягів пам'яті.<ref name="Saupe"~~>{{Стаття\|автор=D. Saupe\|archiveurl=https:~~/~~/web.archive.org/web/20070611010435/http://www.inf.uni-konstanz.de/cgip/bib/files/Saupe87.pdf\|archivedate=2007-06-11}}</ref~~> На практиці також використовується така модифікація: на кожному кроці вибирається один випадковий прообраз. При цьому, однак, потрібно враховувати, що такий алгоритм обходить множину Жуліа не рівномірно: в деякі області може потрапити тільки за дуже великий (практично недосяжний) час, і вони не будуть зображені на отриманому графіку. == Цікаві факти == Математики довели, що довільна замкнена фігура на площині може бути як завгодно близько наближена множиною Жуліа для відповідного многочлена. Серед іншого, як демонстрацію власної техніки, ученим вдалося побудувати досить хороше наближення силуету кота. За словами вчених, їхній приклад наочно демонструє, що динаміка поліноміальних (тобто задаваних многочленами) динамічних систем може бути влаштована максимально різноманітно. Вони кажуть, що запропонований ними приклад буде корисний у теорії таких систем<ref>[http://lenta.ru/news/2012/09/28/fract/ Математики наблизили кота множинами Жуліа] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20210121094330/https://lenta.ru/news/2012/09/28/fract/ \|date=21 січня 2021 }}{{ref-ru}}</ref> ==Див. також== Рядок 64: * Мілнор, Дж. Голоморфна динаміка. Ввідні лекції. = Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures.  — Іжевськ: НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2000. — 320 с. — <nowiki>ISBN 5-93972-006-4</nowiki>. {{Ref-ru}} * [https://web.archive.org/web/20110317020756/http://www.lizardie.com/links/download/fractal-generator Проста програма для генерування множин Жуліа (Windows, 370 кБ)] {{Ref-en}} * [http://fractalworld.xaoc.ru/Mandelbrot_set_and_Julia_set Множини Мандельброта та Жуліа на сайті FractalWorld] {{~~Недоступне~~Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20190707210815/http://fractalworld.xaoc.ru/mandelbrot_set_and_julia_set ~~посилання~~\|~~дата~~date=7 липня 2019 }} {{Фрактали}} {{Перекласти\|en\|Julia set}} [[Категорія:~~Теорія~~Граничні ~~динамічних систем~~множини]] [[Категорія:Фрактали]]