'''Розмірність Гаусдорфа''' — природний спосіб визначати розмірність [[множина|множини ]] у(в [[метричний простір|метричному просторі]] .) Длядорівнює багатьох<math>\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(\rho(n))}{\ln(n)}</math>, випадківде розмірність<math>\rho(n)</math> — Гаусдорфамінімальне співпадаєчисло змножин топологічною[[діаметр]]а розмірністю<math>1/n</math>, (розмірністюякими Лебега)можна покрити множину. Наприклад, у тривимірному [[ евклідовийевклідів простір|евклідовому просторі]] Гаусдорфова розмірність скінченної множини дорівнюєрівна нулевінулю, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатнього об’ємудодатного об'єму — трьом. Для [[фрактал |фрактальних]] ьних множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень. ▼== Розмірність Мінковського == ▼'''Розмірність Хаусдорфа''' — розмірність множини (в [[метричний простір|метричному просторі]]) дорівнює <math>\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(\rho(n))}{\ln(n)}</math>, де <math>\rho(n)</math> — мінімальне число множин [[діаметр|діаметру]] <math>1/n</math>, якими можна покрити множину. Розмірність [[Гаусдорф Фелікс|Хаусдорфа]] не визначена для необмежених множин. Навіть для обмежених множин деяке <math>\rho(n)</math> може дорівнювати нескінченності.
[[Файл:Sierpinski deep.svg|thumb|300px|[[Трикутник Серпінського]]. Простір з фрактальною розмірністю log<sub>2</sub> 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585]]
== Розмірність Гаусдорфа == ▼▲'''Розмірність Гаусдорфа''' — природний спосіб визначати розмірність [[множина|множини]] у [[метричний простір|метричному просторі]]. Для багатьох випадків розмірність Гаусдорфа співпадає з топологічною розмірністю (розмірністю Лебега). Наприклад, у тривимірному [[евклідовий простір|евклідовому просторі]] Гаусдорфова розмірність скінченної множини дорівнює нулеві, розмірність гладкої кривої — одиниці, розмірність гладкої поверхні — двійці і розмірність множини додатнього об’єму — трьом. Для [[фрактал|фрактальних]] множин розмірність Гаусдорфа може набувати дробових значень.
=== Означення ===
ВизначенняОзначення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай <math>M</math> — [[обмежена множина]] у метричному просторі <math>X</math>. Наприклад, нехай <math>X = R^n</math>.
=== <math>\delta</math>-покриття ===
Нехай <math>\delta>0, \delta\in R</math>.
Не більш ніж зліченну сім’юсім'ю <math>\{ U_i \}_{i \in I}</math> підмножин простору <math>X</math> будемо називати <math>\delta</math>-покриттям множини <math>M</math>, якщо виконуються наступнітакі дві властивості:
* <math>\OmegaM \subset \bigcup_{i\in I}\omega_i U_i </math>
* для всіх <math>i\in I</math> [[діаметр]] <math>\text{diam } U_i < \delta</math> (для всіх <math>i\in I</math> [[діаметр]] множин <math>U_i</math> менший за <math>\delta</math>. ▼*<math>M \subset \bigcup_{i\in I} U_i </math>
▲*для всіх <math>i\in I</math> [[діаметр]] <math>\text{diam } U_i < \delta</math> (для всіх <math>i\in I</math> [[діаметр]] множин <math>U_i</math> менший за <math>\delta</math>.
=== <math>\rho</math>ρ-міра Гаусдорфа ===
Нехай <math>\rho>0</math>. Нехай <math>\Theta=\{U_i\}_{і\in I}</math> — покриття множини <math>M</math>. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: <math>F_\rho(\Theta):=\sum\limits_{і\in I} (\operatorname{diam}\,U_i)^\rho</math>. Позначимо через <math>M^{\delta}_{\rho}(M)</math> «мінімальний розмір» <math>{\delta}</math>-покриття множини <math>M</math>: <math>M^{\delta}_{\rho}(M) := \inf(F_\rho(\Theta))</math>, де инфимум береться по всім <math>\delta</math>-покриттях множини <math>M</math>. Очевидно, що функція <math>M^{\delta}_{\rho}(M) </math> убуває по <math>\delta</math>. Отже, у неї є кінцева або нескінченна межа при <math>\delta\rightarrow 0</math>: <math>M_{\rho}(M)=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0+}M^{\delta}_{\rho}(M) </math>. Величина <math>M_{\rho}(M)</math> називається <math>\rho</math>-мірою Гаусдорфа множини <math>M</math>. === Властивості <math>\rho</math>-міри Гаусдорфа === * <math>\rho</math>-міра Гаусдорфа є борелевской [[міра множини|мерой]] на <math>X</math>. * з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; <math>d</math>- міра Гаусдорфа безлічей у <math>\mathbb{R}^d</math> збігається з їхній <math>d</math>-мірним обсягом. * <math>M_{\rho}(M)</math> убуває по <math>\rho</math>. Більш того для будь-якої множини <math>M</math> існує критичне значення <math>\rho_0</math>, таке, що: ** <math>M_{\rho}(M)=0 </math> для всіх <math>\rho>\rho_0</math> ** <math>M_{\rho}(M)=+\infty </math> для всіх <math>\rho<\rho_0</math> Значення <math>M_{\rho_0}(M)</math> може бути нульовим, кінцев або нескінченним. === Визначення розмірності Гаусдорфа === Розмірністю Гаусдорфа множини <math>M</math> називається число <math>\rho_0</math> з попереднього пункту. == Властивості розмірності Гаусдорфа == * Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не перевершує нижня і верхньої [[розмірність Минковского|размерностей Минковского]]. * Розмірність Гаусдорфа не більш ніж рахункового об'єднання безлічей дорівнює максимумові з їх размерностей. Зокрема, додавання [[рахункове множина|счетного множини]] до будь-якої множини не змінює його розмірності. * Для самоподібних безлічей розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально говорячи, якщо безліч розбивається на <math>n</math> частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами <math>r_1,r_2,\dots,r_n</math>, те його розмірність <math>s</math> є рішенням рівняння <math>r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1</math>. Наприклад, розмірність [[безліч Кантора|множини Кантора]] дорівнює <math>\ln2/\ln3</math> (розбивається на двох частин, коефіцієнт подоби 1/3), а розмірність [[трикутник Серпинского|треугольника Серпинского]] — <math>\ln3/\ln2</math> (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подоби 1/2). == Див. також == * [[фрактал]] * [[розмірність Минковского]] == Література == * {{книга |заглавие = Фракталы |автор = Федер Е. |ссылка = |isbn = 5-03-001712-7 |страницы = 254 |год = 1991 |место = М. |издательство = МИР }} [[Категорія:Метрична геометрія]] [[Категорія:Теорія розмірності]] [[bg:Гаусдорфова размерност]] [[cs:Hausdorffova míra]] [[de:Hausdorff-Dimension]] [[en:Hausdorff dimension]] [[fr:Dimension de Hausdorff]] [[it:Dimensione di Hausdorff]] [[he:ממד האוסדורף]] [[pl:Wymiar Hausdorffa]] [[pt:Dimensão de Hausdorff]] [[rho:Dimensiune Hausdorff]] [[sl:Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost]] [[fi:Hausdorffin mitta]] [[sv:Hausdorffdimension]] [[uk:Розмірність Гаусдорфа]] [[ur:ہاسڈارف بُعد]] [[zh:豪斯多夫维]]
Нехай <math>\rho>0</math>. Нехай <math>\Theta=\{U_i\}_{i\in I}</math> — покриття множини <math>M</math>. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: <math>F_\rho(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} (\operatorname{diam}\,U_i)^\rho</math>. Позначимо через <math>M^{\delta}_{\rho}(M)</math> «мінімальний розмір» <math>{\delta}</math>-покриття множини <math>M</math>: <math>M^{\delta}_{\rho}(M) := \inf(F_\rho(\Theta))</math>, де [[інфімум]] береться по всіх <math>\delta</math>-покриттях множини <math>M</math>. Очевидно, що функція <math>M^{\delta}_{\rho}(M) </math> спадає по <math>\delta</math>. Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при <math>\delta\rightarrow 0</math>: <math>M_{\rho}(M)=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0+}M^{\delta}_{\rho}(M) </math>. Величина <math>M_{\rho}(M)</math> називається <math>\rho</math>-мірою Гаусдорфа множини <math>M</math>.
* [[Розмірність Лебега]]
=== Властивості ρ-міри Гаусдорфа ===
{{Nosources}}
{{Math-stub}}
* <math>\rho</math>-міра Гаусдорфа є борелівською [[міра множини|мірою]] на <math>X</math>.
[[Категорія:Функціональний аналіз]]
* з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра Гаусдорфа для гладких кривих збігається з їх довжиною; 2-міра Гаусдорфа для гладких поверхонь збігається з їх площею; <math>d</math>- міра Гаусдорфа множин у <math>\mathbb{R}^d</math> збігається з їхнім <math>d</math>-мірним об'ємом.
[[Категорія:Теорія множин]] ▼* <math>M_{\rho}(M)</math> спадає по <math>\rho</math>. Більш того для будь-якої множини <math>M</math> існує критичне значення <math>\rho_0</math>, таке, що:
** <math>M_{\rho}(M)=0 </math> для всіх <math>\rho>\rho_0</math>
** <math>M_{\rho}(M)=+\infty </math> для всіх <math>\rho<\rho_0</math> Значення <math>M_{\rho_0}(M)</math> може бути нульовим, скінченним або нескінченним.
=== Визначення розмірності Гаусдорфа ===
[[bg:Хаусдорфова размерност]]
[[cs:Hausdorffova míra]]
[[de:Hausdorff-Dimension]]
[[en:Hausdorff dimension]]
[[fi:Hausdorffin mitta]]
[[fr:Dimension de Hausdorff]]
[[he:ממד האוסדורף]]
[[it:Dimensione di Hausdorff]]
[[pl:Wymiar Hausdorffa]]
[[pt:Dimensão de Hausdorff]]
[[ro:Dimensiune Hausdorff]]
[[ru:Размерность Минковского]]
[[sl:Hausdorff-Bezikovičeva razsežnost]]
[[sv:Hausdorffdimension]]
[[ur:ہاسڈارف بُعد]]
[[zh:豪斯多夫维]]
Розмірністю Гаусдорфа множини <math>M</math> називається число <math>\rho_0</math> з попереднього пункту.
== Джерела інформації == ▼Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи. ▼
== Властивості розмірності Гаусдорфа ==
А. Морозов. Введение в теорию фракталов. ▼
* Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню [[розмірність Мінковського|розмірності Мінковського]].
Пайтген Х.О. Рихтер П.Х. Красота фракталов. ▼* Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного [[об'єднання множин]] дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання [[зліченна множина|зліченної множини]] до будь-якої множини не змінює її розмірності.
* Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на <math>n</math> частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами <math>r_1,r_2,\dots,r_n</math>, то її розмірність <math>s</math> є розв'язком рівняння <math>r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1</math>. Наприклад, розмірність [[множина Кантора|множини Кантора]] дорівнює <math>\ln2/\ln3</math> (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність [[трикутник Серпінського|трикутника Серпінського]] — <math>\ln3/\ln2</math> (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).
▲== ДивітьсяДив. також ==
Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах ▼{{Портал|Математика}}
▲==* [[Розмірність Гаусдорфа ==Лебега]]
Божокин С.В. Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. ▼▲==* [[Розмірність Мінковського ==]]
== Література ==
K.I. Falconez. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. ▼* {{cite book |title = Фракталы |author = Федер Е. |isbn = 5-03-001712-7 |pages = 254 |year = 1991 |місце = М. |видавництво = МИР}}
▲== Джерела інформації ==
Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7 ▼▲* Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
▲* А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
▲* Пайтген Х. О. Рихтер П. Х. Красота фракталов.
▲* Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах
▲* Божокин С. В. Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы.
▲* K.I. FalconezFalconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
▲* Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7
{{Фрактали}}
{{Багатовимірність}}
[[Категорія:Метрична геометрія]]
▲[[Категорія:Теорія множинрозмірності]]
[[Категорія:Фрактали]]
| 