Розмірність Гаусдорфа: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
прибрав зайве означення, яке копіювало наступне |
UAWON (обговорення | внесок) Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
||
| (Не показано 3 проміжні версії 3 користувачів) | |||
Рядок 1:
'''Розмірність Гаусдорфа''' — розмірність множини (в [[метричний простір|метричному просторі]]) дорівнює <math>\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(\rho(n))}{\ln(n)}</math>, де <math>\rho(n)</math> — мінімальне число множин [[діаметр]]а <math>1/n</math>, якими можна покрити множину.
[[Файл:Sierpinski deep.svg|thumb|300px|[[Трикутник Серпінського]]. Простір з фрактальною розмірністю log<sub>2</sub> 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585]]
=== Означення ===
Означення розмірності Гаусдорфа складається з декількох кроків. Нехай <math>M</math> — [[обмежена множина]] у метричному просторі <math>X</math>. Наприклад, нехай <math>X = R^n</math>.
=== <math>\delta</math>-покриття ===
Рядок 45 ⟶ 15:
=== ρ-міра Гаусдорфа ===
Нехай <math>\rho>0</math>. Нехай <math>\Theta=\{U_i\}_{i\in I}</math> — покриття множини <math>M</math>. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: <math>F_\rho(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} (\operatorname{diam}\,U_i)^\rho</math>. Позначимо через <math>M^{\delta}_{\rho}(M)</math> «мінімальний розмір» <math>{\delta}</math>-покриття множини <math>M</math>: <math>M^{\delta}_{\rho}(M) := \inf(F_\rho(\Theta))</math>, де [[інфімум]] береться по всіх <math>\delta</math>-покриттях множини <math>M</math>. Очевидно, що функція <math>M^{\delta}_{\rho}(M) </math> спадає по <math>\delta</math>. Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при <math>\delta\rightarrow 0</math>: <math>M_{\rho}(M)=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0+}M^{\delta}_{\rho}(M) </math>. Величина <math>M_{\rho}(M)</math> називається <math>\rho</math>-мірою Гаусдорфа множини <math>M</math>.
=== Властивості ρ-міри Гаусдорфа ===
Рядок 62 ⟶ 32:
* Розмірність Гаусдорфа будь-якої множини не більша за нижню та верхню [[розмірність Мінковського|розмірності Мінковського]].
* Розмірність Гаусдорфа не більш ніж зліченного [[об'єднання множин]] дорівнює максимальній розмірності об'єднаних множин. Зокрема, додавання [[зліченна множина|зліченної множини]] до будь-якої множини не змінює її розмірності.
* Для самоподібних множин розмірність Гаусдорфа може бути обчислена явно. Неформально, якщо множина розбивається на <math>n</math> частин, подібних до вихідної множини з коефіцієнтами <math>r_1,r_2,\dots,r_n</math>, то її розмірність <math>s</math> є розв'язком рівняння <math>r_1^s+r_2^s+\dots+r_n^s = 1</math>. Наприклад, розмірність [[множина Кантора|множини Кантора]] дорівнює <math>\ln2/\ln3</math> (розбивається на дві частини, коефіцієнт подібності 1/3), а розмірність [[трикутник Серпінського|трикутника Серпінського]] — <math>\ln3/\ln2</math> (розбивається на 3 частини, коефіцієнт подібності 1/2).
Рядок 82 ⟶ 52:
* K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
* Федер Е. Фракталы. — М.: МИР, 1991. — С. 254. — ISBN 5-03-001712-7
{{Фрактали}}
{{Багатовимірність}}
| |||