Векторне числення: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Addbot (обговорення | внесок) |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
| (Не показані 35 проміжних версій 16 користувачів) | |||
Рядок 1:
{{Числення|expanded=Векторів}}
'''Векторне числення''' — область [[математичний аналіз|математичного аналізу]], в якій вивчаються [[скалярне поле|скалярні]] і [[векторне поле|векторні поля]].
Основною теоремою векторного числення є [[Теорема Стокса]].
Багато результатів векторного числення можуть бути представлені як часткові випадки [[диференціальна геометрія|диференціальної геометрії]]. Векторне числення відіграє важливу роль у [[Диференціальна геометрія|диференційній геометрії]] і при вивченні [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференційних рівнянь з частинними похідними]]. Воно широко використовується у [[фізика|фізиці]] і [[Інженерія|інженерії]], особливо при описанні [[Електромагнітне поле|електромагнітних полів]], [[Гравітаційне поле|гравітаційних полів]] і законів [[Гідроаеродинаміка|гідродинаміки]].
Векторне числення розвинулося із області аналізу [[Кватерніони|кватерніонів]], над яким працювали [[Джозая Віллард Гіббз|Дж. Віллард Гіббз]] і [[Олівер Хевісайд]] наприкінці 19-го століття, і більша частина нотацій і термінології була встановлена Гіббзом і {{нп|Едвін Бідвелл Вілсон|Едвіном Бідвеллом Вілсоном|en|Edwin Bidwell Wilson}} у опублікованій ними книзі в 1901, ''{{нп|Векторний аналіз (книга)|Векторний аналіз|en|Vector Analysis}}''. У традиційній формі із застосуванням [[Векторний добуток|векторного добутку]], векторне числення не можна узагальнити до більших вимірів, в той час як альтернативний підхід {{нп|Геометрична алгебра|геометричної алгебри|en|geometric algebra}}, що використовує [[Зовнішня алгебра|зовнішній добуток]] може бути узагальненим.
== Базові поняття ==
=== Скалярне поле ===
{{Main|Скалярне поле}}
[[Скалярне поле]] пов'язує [[Скаляр|скалярне]] значення до кожної точки в просторі. Скаляром може бути як [[Скаляр|математичне число]] так і [[Скалярна величина|фізична величина]]. Прикладом скалярних полів в типових застосуваннях є розподілення [[Температура|температури]] в просторі, розповсюдження [[Тиск|тиску]] в рідині, або спін-нульові квантові поля, такі як [[Бозон Хіггса]]. Ці поля є предметом вивчення {{нп|Теорія скалярного поля|теорії скалярного поля|en|scalar field theory}}.
=== Векторне поле ===
{{Main|Векторне поле}}
[[Векторне поле]] пов'язує [[Вектор (математика)|вектор]] до кожної точки з підмножини [[Простір (математика)|простору]].<ref name="Galbis-2012-p12">{{cite book|authors=Galbis, Antonio & Maestre, Manuel|title=Vector Analysis Versus Vector Calculus|publisher=Springer|year=2012|isbn=978-1-4614-2199-3|page=12|url=https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12|accessdate=27 листопада 2016|archive-date=25 квітня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160425125807/https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12}}</ref> Векторне поле на площині, як приклад, можна зобразити як набір стрілок із заданою величиною і напрямом, що прив'язані до окремих точок на площині. Векторні поля часто використовуються для моделювання, наприклад, напряму і швидкості руху рідини в просторі, або сили і напрямку дії деякої [[Сила|сили]], такої як [[Магнітне поле|магнітна]] або [[Гравітація|гравітаційна]] сила, і того як вони змінюються від точки до точки.
=== Вектори і псевдовектори ===
У більш складних випадках, розрізняють [[Псевдовектор|псевдовекторні]] поля і [[Псевдоскаляр|псевдоскалярні]] поля, що є ідентичними до векторних і скалярним полів, замість того, що вони змінюють свій знак відповідно до мапи перевертання орієнтації: наприклад, ротор векторного поля є псевдовекторним полем, і якщо хтось відображає векторне поле, ротор вказує в протилежному напряму. Ці відмінності детально вивчаються в геометричній алгебрі.
== Векторна алгебра ==
{{main|Векторна алгебра}}
Алгебраїчні (не диференційні) операції над векторами називаються [[Векторна алгебра|векторною алгеброю]], яка визначається для векторного простору і застосовується для векторного поля. Базовими векторними операціями є наступні:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Операція!!Позначення!!Опис
|-
![[Векторна алгебра#Додавання|Додавання векторів]]
|<math>\mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2</math>
|Додавання двох векторних полів, в результаті дає векторне поле.
|-
![[Векторна алгебра#Множення на скаляр|Множення на скаляр]]
|<math>a \mathbf{v}</math>
|Множення скалярного поля на векторне поле, дає результатом векторне поле.
|-
![[Скалярний добуток]]
|<math>\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2</math>
|Множення двох векторних полів має результатом скалярне поле.
|-
![[Векторний добуток]]
|<math>\mathbf{v}_1 \times \mathbf{v}_2</math>
|Множення двох векторних полів в <math>\mathbb R^3</math>, породжує (псевдо)векторне поле.
|}
Також використовуються два [[Мішаний добуток|мішаних добутки]]:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Операція!!Позначення!!Опис
|-
![[Мішаний добуток|Скалярний мішаний добуток]]
|<math>\mathbf{v}_1\cdot\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)</math>
|Скалярний добуток вектора на векторний добуток двох векторів.
|-
![[Мішаний добуток|Векторний мішаний добуток]]
|<math>\mathbf{v}_1\times\left( \mathbf{v}_2\times\mathbf{v}_3 \right)</math>
|Векторний добуток вектора на скалярний добуток двох векторів.
|}
== Операції і теореми ==
{{main|Формули векторного аналізу}}
===Диференційні оператори===
{{main|Градієнт|Дивергенція (математика)|Ротор (математика)|Оператор Лапласа|Потік вектора|Циркуляція вектора}}
Векторне числення вивчає різні [[Диференціальний оператор|диференціальні оператори]] визначені для скалярного або векторного полів, які зазвичай позначаються оператором [[Оператор Гамільтона|Гамільтона]] (<math>\nabla</math>), що також відомий як "набла". Трьома основними векторними операторами є:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Операція!!Позначення!!Опис!!Аналогія позначень!!Область/Діапазон
|-
![[Градієнт]]
|<math>\operatorname{grad}(f)=\nabla f</math>
|Вимірює швидкість і напрям зміни скалярного поля.
|Множення на скаляр
|Зображає скалярні поля у векторні поля.
|-
![[Дивергенція (математика)|Дивергенція]]
|<math>\operatorname{div}(\mathbf{F})=\nabla\cdot\mathbf{F}</math>
|Вимірює скалярну величину джерела векторного поля в даній точці.
|[[Скалярний добуток]]
|Зображає векторні поля у скалярні поля.
|-
![[Ротор (математика)|Ротор]]
|<math>\operatorname{curl}(\mathbf{F})=\nabla\times\mathbf{F}</math>
|Вимірює тенденцію до обертання довкола точки у векторному полі <math>\mathbb R^3</math>.
|[[Векторний добуток]]
|Зображає векторні поля у псевдо-векторні поля.
|-
!colspan=5|<math>f</math> позначає скалярне поле, а <math>F</math> позначає векторне поле
|}
Також загальновживаними є два оператори Лапласа:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
!Операція!!Позначення!!Опис!!Область/Діапазон
|-
![[Оператор Лапласа]]
|<math>\Delta f=\nabla^2 f=\nabla\cdot \nabla f</math>
|Вимірює різницю між значенням скалярного поля в їх середніх значеннях при нескінченно малих сферах.
|Виконує перетворення між скалярними полями.
|-
!Векторний оператор лапласа
|<math>\nabla^2\mathbf{F}=\nabla(\nabla\cdot\mathbf{F})-\nabla \times (\nabla \times \mathbf{F})</math>
|Вимірює різницю між значенням скалярного поля в їх середніх значеннях при нескінченно малих сферах.
|Виконує перетворення між векторними полями.
|-
!colspan=4|<math>f</math> позначає скалярне поле, а <math>F</math> позначає векторне поле
|}
Величина, що називається [[Матриця Якобі|Якобіаном]] є корисною для вивчення функцій, коли коли область і діапазон значень функції є багатомірними, наприклад, при заміні змінних під час інтегрування.
===Інтегральні теореми===
Три основні векторні оператори мають під собою відповідні теореми, які узагальнюють [[Формула Ньютона — Лейбніца|основну формулу інтегрального числення]] до більших вимірів:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Теорема !! Твердження !! Опис
|-
! [[Градієнтна теорема]]
| <math> \int_{L[\mathbf p \to \mathbf q] \subset \mathbb R^n} \nabla\varphi\cdot d\mathbf{r} = \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) </math>
| [[Криволінійний інтеграл]] градієнта над скалярним полем дорівнює різниці значень скалярного поля у кінцевих точках [[Крива| кривої]].
|-
! [[Формула Остроградського|Теорема про дивергенцію]]
| <math> \underbrace{ \int \cdots \int_{V \subset \mathbb R^n} }_{n} (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV = \underbrace{ \oint \cdots \oint_{\partial V} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{S} </math>
| Інтеграл над дивергенцією векторного поля по {{mvar|n}}-вимірному тілу дорівнює [[Густина потоку енергії|густині потоку]] векторного поля через {{math|(''n'' − 1)}}-вимірну замкнену поверхню, що обмежує тіло.
|-
! [[Теорема Стокса|Теорема Кельвіна-Стокса]]
| <math> \iint_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} </math>
| Інтеграл по кривій у векторному полі по [[Поверхня|поверхні]] в просторі <math>\mathbb R^3</math> дорівнює лінійному інтегралу векторного поля по замкненій кривій, що обмежує поверхню.
|-
!colspan=5|<math>\varphi</math> позначає скалярне поле, а <math>F</math> позначає векторне поле
|}
У випадку для двох вимірів, теореми про дивергенцію і Кельвіна-Стокса спрощуються до теореми Гріна:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|-
! Теорема !! Твердження !! Опис
|-
! [[Теорема Гріна]]
| <math> \iint_{A\,\subset\mathbb R^2} \left (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA=\oint_{\partial A} \left ( L\, dx + M\, dy \right ) </math> || Інтеграл над дивергенцією або кривою у векторному полі по деякій області в <math>\mathbb R^2</math> дорівнює густині потоку енергії або лінійному інтегралу у векторному полі по замкненій кривій, що обмежує область.
|-
!colspan=5|Для дивергенції, <math>F=(M,-L)</math>. Для кривої, <math>F=(L,M,0)</math>. L і M є функціями змінних (x, y).
|}
==Застосування==
===Лінійна апроксимація===
Лінійна [[апроксимація]] (наближення) використовується аби замінити складні функції [[Лінійна функція|лінійними функціями]], що є дуже подібними. Дана диференційована функція <math>f(x, y)</math> дійсних змінних. Можна апроксимувати функцію <math>f(x, y)</math> для <math>(x, y)</math>, що є близькими до <math>(a, b)</math> за допомогою формули
:<math>f(x,y)\approx f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x} (a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b).</math>
В правій частині представлене рівняння площини, що є дотичною до графіку функції <math>z=f(x, y)</math> у точці <math>(a, b).</math>
===Оптимізація===
{{main|Оптимізація (математика)}}
Для неперервно диференційованої {{нп|Функція багатьох дійсних змінних|функції багатьох дійсних змінних|en|Function of several real variables}}, точка ''P'' (що є множиною значень вхідних змінних, і яка розглядається як точка в просторі '''R'''<sup>''n''</sup>) є '''критичною точкою''' якщо всі [[Часткова похідна|часткові похідні]] функції дорівнюють нулю в даній точці ''P'', або, еквівалентно, якщо її [[градієнт]] дорівнює нулю. Критичними значеннями є значення функції в критичних точках.
Якщо функція є [[Гладка функція|гладкою]], або, принаймні двічі неперервно диференційована, критична точка може бути або [[Екстремум|локальним максимумом]], [[Екстремум|локальним мінімумом]] або [[Сідлова точка|сідловою точкою]]. Ці різні випадки можна розрізнити, якщо розглянути [[Власний вектор|власні значення]] [[Матриця Гессе|матриці Гессе]] для других похідних.
Відповідно до [[Теорема Ферма|теореми Ферма]], всі локальні [[екстремум|максимуми і мінімуми]] диференційованої функції знаходяться в критичних точках. Таким чином, аби знайти локальні максимуми і мінімуми, теоретично, є достатнім розрахувати нулі градієнта і власні значення матриці Гессе в цих нулях.
===Фізика і інженерія===
Векторне числення зокрема важливе для вивчення:
*[[Центр інерції|Центра мас]]
*[[Поле_(фізика)#Теорії поля|Теорії поля]]
*[[Кінематика|Кінематики]]
*[[Рівняння Максвелла|Рівнянь Максвелла]]
== Основні формули векторного числення ==
Рядок 29 ⟶ 185:
\mathbf{a} \text{div}\; \mathbf{b} - \mathbf{b} \text{div}\; \mathbf{a} </math>
==Узагальнення==
===Різні 3-вимірні многовиди===
Векторне числення як правило визначається для [[Евклідів простір|евклідового 3-вимірного простору]] <math>\mathbb{R}^3,</math> яке як правило має додаткову структуру крім простого представлення як 3-вимірного дійсного векторного простору, цією структурою є [[Норма (математика)|норма]] (що задає поняття довжини) яка визначається через [[Передгільбертів простір|внутрішній добуток]] ([[скалярний добуток]]). Це в свою чергу додає поняття кута, і [[Орієнтація|орієнтації]], що може визначатися за правилом правої чи лівої руки. Ці структури також приводять до поняття [[Форма об'єму|форми об'єму]], а також до [[Векторний добуток|векторного добутку]], який досить широко і всебічно використовується у векторному численні.
Оператори градієнту і дивергенції потребують лише існування внутрішнього добутку, а ротор і векторний добуток потребують враховувати направленість [[Система координат|системи координат]] за правилом правої чи лівої руки.
Векторне числення може бути визначене і для інших 3-вимірних [[Векторний простір|векторних просторів]], якщо вони визначають предгільбертів простір (або в більш загально кажучи, мають симетричну невироджену форму) і орієнтацію. Варто зауважити що ці вимоги є вужчими за ізоморфізм Евклідового простору, оскільки векторне числення не потребує використання множини координат (тобто системи відліку), що підкреслює той факт, що векторне числення є інваріантним до обертань ([[спеціальна ортогональна група]] [[SO(3)]]).
У більш загальному випадку, векторне числення може визначатися для будь-якого 3-вимірного орієнтованого [[Ріманів многовид|ріманового многовиду]], або для [[Псевдоріманів многовид|псевдоріманового многовида]]. Ця структура просто кажучи означає, що [[дотичний простір]] в кожній точці має внутрішній добуток (симетричну невироджену форму) і орієнтацію, або більш загально, в ньому існує симетричний невироджений [[метричний тензор]] і орієнтація, і це є дійсним тому що векторне числення визначається через дотичні вектори в кожній точці.
== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
== Примітки ==
{{reflist}}
==Посилання==
* {{springer|title=Vector analysis|id=p/v096360}}
* {{springer|title=Vector algebra|id=p/v096350}}
*[http://academicearth.org/courses/vector-calculus Vector Calculus Video Lectures] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131231190822/http://academicearth.org/courses/vector-calculus/ |date=31 грудня 2013 }} from [[University of New South Wales]] on [[Academic Earth]]
*[http://hdl.handle.net/2027.42/7868 A survey of the improper use of ∇ in vector analysis] (1994) Tai, Chen
* [http://www.mc.maricopa.edu/~kevinlg/i256/Nonortho_math.pdf Expanding vector analysis to an oblique coordinate system]{{Недоступне посилання|date=жовтня 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* [https://books.google.com/books?id=R5IKAAAAYAAJ&printsec=frontcover Vector Analysis:] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160425074534/https://books.google.com/books?id=R5IKAAAAYAAJ&printsec=frontcover |date=25 квітня 2016 }} A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of [[Willard Gibbs]]) by [[Edwin Bidwell Wilson]], published 1902.
*[http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/vector%20analysis.htm Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180619025843/http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/vector%20analysis.htm |date=19 червня 2018 }}
{{Математичний аналіз}}
[[Категорія:Векторне числення|*]]
| |||