Векторне числення: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Inna Z (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Олюсь (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
| (Не показані 17 проміжних версій 12 користувачів) | |||
Рядок 1:
{{Числення|expanded=Векторів}}
'''Векторне числення''' — область [[
Основною теоремою векторного числення є [[Теорема Стокса]].
Рядок 17:
{{Main|Векторне поле}}
[[Векторне поле]] пов'язує [[Вектор (математика)|вектор]] до кожної точки з підмножини
=== Вектори і псевдовектори ===
Рядок 31:
|-
![[Векторна алгебра#Додавання|Додавання векторів]]
|<math>\
|Додавання двох векторних полів, в результаті дає векторне поле.
|-
![[Векторна алгебра#Множення на скаляр|Множення на скаляр]]
|<math>a \
|Множення скалярного поля на векторне поле, дає результатом векторне поле.
|-
![[Скалярний добуток]]
|<math>\
|Множення двох векторних полів має результатом скалярне поле.
|-
![[Векторний добуток]]
|<math>\
|Множення двох векторних полів в <math>\mathbb R^3</math>, породжує (псевдо)векторне поле.
|}
Рядок 53:
|-
![[Мішаний добуток|Скалярний мішаний добуток]]
|<math>\
|Скалярний добуток вектора на векторний добуток двох векторів.
|-
![[Мішаний добуток|Векторний мішаний добуток]]
|<math>\
|Векторний добуток вектора на скалярний добуток двох векторів.
|}
Рядок 127:
| Інтеграл над дивергенцією векторного поля по {{mvar|n}}-вимірному тілу дорівнює [[Густина потоку енергії|густині потоку]] векторного поля через {{math|(''n'' − 1)}}-вимірну замкнену поверхню, що обмежує тіло.
|-
!
| <math> \iint_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} </math>
| Інтеграл по кривій у векторному полі по [[Поверхня|поверхні]] в просторі <math>\mathbb R^3</math> дорівнює лінійному інтегралу векторного поля по замкненій кривій, що обмежує поверхню.
Рядок 149:
===Лінійна апроксимація===
Лінійна [[апроксимація]] (наближення) використовується аби замінити
:<math>f(x,y)\approx f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x} (a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b).</math>
В правій частині представлене рівняння площини, що є дотичною до графіку функції <math>z=f(x, y)</math> у точці <math>(a, b).</math>
===Оптимізація===
{{main|Оптимізація (математика)}}
Для неперервно диференційованої {{нп|Функція багатьох дійсних змінних|функції багатьох дійсних змінних|en|Function of several real variables}}, точка ''P'' (що є множиною значень вхідних змінних, і яка розглядається як точка в просторі '''R'''<sup>''n''</sup>) є '''критичною точкою''' якщо всі [[Часткова похідна|часткові похідні]] функції дорівнюють нулю в даній точці ''P'', або, еквівалентно, якщо її [[градієнт]] дорівнює нулю. Критичними значеннями є значення функції в критичних точках.
Якщо функція є [[Гладка функція|гладкою]], або, принаймні двічі неперервно диференційована, критична точка може бути або [[Екстремум|локальним максимумом]], [[Екстремум|локальним мінімумом]] або [[Сідлова точка|сідловою точкою]]. Ці різні випадки можна розрізнити, якщо розглянути [[Власний вектор|власні значення]] [[Матриця Гессе|матриці Гессе]] для других похідних.
Відповідно до [[Теорема Ферма|теореми Ферма]], всі локальні [[екстремум|максимуми і мінімуми]] диференційованої функції знаходяться в критичних точках. Таким чином, аби знайти локальні максимуми і мінімуми, теоретично, є достатнім розрахувати нулі градієнта і власні значення матриці Гессе в цих нулях.
===Фізика і інженерія===
Рядок 176 ⟶ 184:
* <math> \text{rot}\; [\mathbf{a} \times \mathbf{b}] = (\mathbf{b} \cdot \nabla)\mathbf{a} - (\mathbf{a} \nabla) \mathbf{b} +
\mathbf{a} \text{div}\; \mathbf{b} - \mathbf{b} \text{div}\; \mathbf{a} </math>
==Узагальнення==
===Різні 3-вимірні многовиди===
Векторне числення як правило визначається для [[Евклідів простір|евклідового 3-вимірного простору]] <math>\mathbb{R}^3,</math> яке як правило має додаткову структуру крім простого представлення як 3-вимірного дійсного векторного простору, цією структурою є [[Норма (математика)|норма]] (що задає поняття довжини) яка визначається через [[Передгільбертів простір|внутрішній добуток]] ([[скалярний добуток]]). Це в свою чергу додає поняття кута, і [[Орієнтація|орієнтації]], що може визначатися за правилом правої чи лівої руки. Ці структури також приводять до поняття [[Форма об'єму|форми об'єму]], а також до [[Векторний добуток|векторного добутку]], який досить широко і всебічно використовується у векторному численні.
Оператори градієнту і дивергенції потребують лише існування внутрішнього добутку, а ротор і векторний добуток потребують враховувати направленість [[Система координат|системи координат]] за правилом правої чи лівої руки.
Векторне числення може бути визначене і для інших 3-вимірних [[Векторний простір|векторних просторів]], якщо вони визначають предгільбертів простір (або в більш загально кажучи, мають симетричну невироджену форму) і орієнтацію. Варто зауважити що ці вимоги є вужчими за ізоморфізм Евклідового простору, оскільки векторне числення не потребує використання множини координат (тобто системи відліку), що підкреслює той факт, що векторне числення є інваріантним до обертань ([[спеціальна ортогональна група]] [[SO(3)]]).
У більш загальному випадку, векторне числення може визначатися для будь-якого 3-вимірного орієнтованого [[Ріманів многовид|ріманового многовиду]], або для [[Псевдоріманів многовид|псевдоріманового многовида]]. Ця структура просто кажучи означає, що [[дотичний простір]] в кожній точці має внутрішній добуток (симетричну невироджену форму) і орієнтацію, або більш загально, в ньому існує симетричний невироджений [[метричний тензор]] і орієнтація, і це є дійсним тому що векторне числення визначається через дотичні вектори в кожній точці.
== Література ==
* {{Фіхтенгольц.укр}}
== Примітки ==
Рядок 183 ⟶ 205:
* {{springer|title=Vector analysis|id=p/v096360}}
* {{springer|title=Vector algebra|id=p/v096350}}
*[http://academicearth.org/courses/vector-calculus Vector Calculus Video Lectures] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20131231190822/http://academicearth.org/courses/vector-calculus/ |date=31 грудня 2013 }} from [[University of New South Wales]] on [[Academic Earth]]
*[http://hdl.handle.net/2027.42/7868 A survey of the improper use of ∇ in vector analysis] (1994) Tai, Chen
* [http://www.mc.maricopa.edu/~kevinlg/i256/Nonortho_math.pdf Expanding vector analysis to an oblique coordinate system]{{Недоступне посилання|date=жовтня 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* [https://books.google.com/books?id=R5IKAAAAYAAJ&printsec=frontcover Vector Analysis:] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160425074534/https://books.google.com/books?id=R5IKAAAAYAAJ&printsec=frontcover |date=25 квітня 2016 }} A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of [[Willard Gibbs]]) by [[Edwin Bidwell Wilson]], published 1902.
*[http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/vector%20analysis.htm Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180619025843/http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/vector%20analysis.htm |date=19 червня 2018 }}
{{Математичний аналіз}}
[[Категорія:Векторне числення|*]]
| |||