Векторне числення: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії

[перевірена версія]

← Попереднє редагування

Вилучено вміст Додано вміст

ВізуальнийВікірозмітка

Версія за 12:41, 29 грудня 2019 ред. Vlasenko D (обговорення \| внесок) Створювачі облікових записів, Патрульні, Відкочувачі 21 523 редагування →‎Узагальнення: уточнення ← Попереднє редагування		Поточна версія на 07:12, 27 червня 2024 ред. скасувати Олюсь (обговорення \| внесок) Патрульні, Відкочувачі 36 982 редагування мНемає опису редагування
(Не показані 8 проміжних версій 7 користувачів)
Рядок 1: {{Числення\|expanded=Векторів}} ~~{{Calculus}}~~ '''Векторне числення''' — область [[~~Математичний~~математичний аналіз\|математичного аналізу]], в якій вивчаються [[скалярне поле\|скалярні]] і [[~~Векторне~~векторне поле\|векторні поля]]. Основною теоремою векторного числення є [[Теорема Стокса]]. Рядок 17: {{Main\|Векторне поле}} [[Векторне поле]] пов'язує [[Вектор (математика)\|вектор]] до кожної точки з підмножини ~~{{нп\|~~[[Простір (математика)\|простору~~\|en\|Space (mathematics)}}~~]].<ref name="Galbis-2012-p12">{{cite book\|authors=Galbis, Antonio & Maestre, Manuel\|title=Vector Analysis Versus Vector Calculus\|publisher=Springer\|year=2012\|isbn=978-1-4614-2199-3\|page=12\|url=https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12\|accessdate=27 листопада 2016\|archive-date=25 квітня 2016\|archive-url=https://web.archive.org/web/20160425125807/https://books.google.com/books?id=tdF8uTn2cnMC&pg=PA12}}</ref> Векторне поле на площині, як приклад, можна зобразити як набір стрілок із заданою величиною і напрямом, що прив'язані до окремих точок на площині. Векторні поля часто використовуються для моделювання, наприклад, напряму і швидкості руху рідини в просторі, або сили і напрямку дії деякої [[Сила\|сили]], такої як [[Магнітне поле\|магнітна]] або [[Гравітація\|гравітаційна]] сила, і того як вони змінюються від точки до точки. === Вектори і псевдовектори === Рядок 127: \| Інтеграл над дивергенцією векторного поля по {{mvar\|n}}-вимірному тілу дорівнює [[Густина потоку енергії\|густині потоку]] векторного поля через {{math\|(''n'' − 1)}}-вимірну замкнену поверхню, що обмежує тіло. \|- ! ~~{{нп~~[[Теорема Стокса\|Теорема Кельвіна-Стокса~~\|\|en\|Kelvin–Stokes theorem}}~~]] \| <math> \iint_{\Sigma\,\subset\mathbb R^3} \nabla \times \mathbf{F} \cdot d\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot d \mathbf{r} </math> \| Інтеграл по кривій у векторному полі по [[Поверхня\|поверхні]] в просторі <math>\mathbb R^3</math> дорівнює лінійному інтегралу векторного поля по замкненій кривій, що обмежує поверхню. Рядок 149: ===Лінійна апроксимація=== Лінійна [[апроксимація]] (наближення) використовується аби замінити складні функції [[Лінійна функція\|лінійними функціями]], що є дуже подібними. Дана диференційована функція <math>f(x, y)</math> дійсних змінних. Можна апроксимувати функцію <math>f(x, y)</math> для <math>(x, y)</math>, що є близькими до <math>(a, b)</math> за допомогою формули :<math>f(x,y)\approx f(a,b)+\frac{\partial f}{\partial x} (a,b)(x-a)+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b).</math> Рядок 188: ===Різні 3-вимірні многовиди=== Векторне числення як правило визначається для [[Евклідів простір\|евклідового 3-вимірного простору]] <math>\mathbb{R}^3,</math> яке як правило має додаткову структуру крім простого представлення як 3-вимірного дійсного векторного простору, цією структурою є [[Норма (математика)\|норма]] (що задає поняття довжини) яка визначається через ~~{{нп\|~~[[Передгільбертів простір\|внутрішній добуток~~\|en\|Inner_product_space#Definition}}~~]] ([[скалярний добуток]]). Це в свою чергу додає поняття кута, і [[Орієнтація\|орієнтації]], що може визначатися за правилом правої чи лівої руки. Ці структури також приводять до поняття [[Форма об'єму\|форми об'єму]], а також до [[Векторний добуток\|векторного добутку]], який досить широко і всебічно використовується у векторному численні. Оператори градієнту і дивергенції потребують лише існування внутрішнього добутку, а ротор і векторний добуток потребують враховувати направленість [[Система координат\|системи координат]] за правилом правої чи лівої руки. Векторне числення може бути визначене і для інших 3-вимірних [[Векторний простір\|векторних просторів]], якщо вони визначають предгільбертів простір (або в більш загально кажучи, мають симетричну невироджену форму) і орієнтацію. Варто зауважити що ці вимоги є вужчими за ізоморфізм Евклідового простору, оскільки векторне числення не потребує використання множини координат (тобто системи відліку), що підкреслює той факт, що векторне числення є інваріантним до обертань ([[спеціальна ортогональна група]] [[SO(3)]]). У більш загальному випадку, векторне числення може визначатися для будь-якого 3-вимірного орієнтованого [[Ріманів многовид\|ріманового многовиду]], або для [[Псевдоріманів многовид\|псевдоріманового многовида]]. Ця структура просто кажучи означає, що [[дотичний простір]] в кожній точці має внутрішній добуток (симетричну невироджену форму) і орієнтацію, або більш загально, в ньому існує симетричний невироджений [[метричний тензор]] і орієнтація, і це є дійсним тому що векторне числення визначається через дотичні вектори в кожній точці. == Література == * {{Фіхтенгольц.укр}} == Примітки == Рядок 202 ⟶ 205: * {{springer\|title=Vector analysis\|id=p/v096360}} * {{springer\|title=Vector algebra\|id=p/v096350}} [http://academicearth.org/courses/vector-calculus Vector Calculus Video Lectures] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20131231190822/http://academicearth.org/courses/vector-calculus/ \|date=31 грудня 2013 }} from [[University of New South Wales]] on [[Academic Earth]] [http://hdl.handle.net/2027.42/7868 A survey of the improper use of ∇ in vector analysis] (1994) Tai, Chen * [http://www.mc.maricopa.edu/~kevinlg/i256/Nonortho_math.pdf Expanding vector analysis to an oblique coordinate system]{{Недоступне посилання\|date=жовтня 2019 \|bot=InternetArchiveBot }} * [https://books.google.com/books?id=R5IKAAAAYAAJ&printsec=frontcover Vector Analysis:] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20160425074534/https://books.google.com/books?id=R5IKAAAAYAAJ&printsec=frontcover \|date=25 квітня 2016 }} A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of [[Willard Gibbs]]) by [[Edwin Bidwell Wilson]], published 1902. [http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/vector%20analysis.htm Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis] {{Webarchive\|url=https://web.archive.org/web/20180619025843/http://www.economics.soton.ac.uk/staff/aldrich/vector%20analysis.htm \|date=19 червня 2018 }} {{Математичний аналіз}} ~~{{Без джерел\|дата=листопад 2015}}~~ ~~{{math-stub}}~~ [[Категорія:Векторне числення\|]]