Розмірність Гаусдорфа: відмінності між версіями
[неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
м Єлисаветградець перейменував сторінку з Розмірність Хаусдорфа на Розмірність Гаусдорфа поверх перенаправлення |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Розмірність
▲'''Розмірність Хаусдорфа''' — розмірність множини (в [[метричний простір|метричному просторі]]) дорівнює <math>\liminf\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln(\rho(n))}{\ln(n)}</math>, де <math>\rho(n)</math> — мінімальне число множин [[діаметр]]у <math>1/n</math>, якими можна покрити множину. Розмірність [[Хаусдорф Фелікс|Хаусдорфа]] не визначена для [[обмежена множина|необмежених множин]]. Навіть для обмежених множин деяке <math>\rho(n)</math> може дорівнювати [[нескінченність|нескінченності]].
[[Файл:Sierpinski deep.svg|thumb|300px|[[Трикутник Серпінського]]. Простір з фрактальною розмірністю log<sub>2</sub> 3 або ln3/ln2, що прибл. дорівнює 1.585]]
=== Означення ===
=== <math>\delta</math>-покриття ===
Рядок 22 ⟶ 19:
=== ρ-міра Хаусдорфа ===
Нехай <math>\rho>0</math>. Нехай <math>\Theta=\{U_i\}_{i\in I}</math> — покриття множини <math>M</math>. Визначимо наступну функцію, яка в деякому плані визначає розмір цього покриття: <math>F_\rho(\Theta):=\sum\limits_{i\in I} (\operatorname{diam}\,U_i)^\rho</math>. Позначимо через <math>M^{\delta}_{\rho}(M)</math> «мінімальний розмір» <math>{\delta}</math>-покриття множини <math>M</math>: <math>M^{\delta}_{\rho}(M) := \inf(F_\rho(\Theta))</math>, де інфімум береться по всіх <math>\delta</math>-покриттях множини <math>M</math>. Очевидно, що функція <math>M^{\delta}_{\rho}(M) </math> спадає по <math>\delta</math>. Отже, у неї є скінченна або нескінченна границя при <math>\delta\rightarrow 0</math>: <math>M_{\rho}(M)=\lim\limits_{\delta\rightarrow 0+}M^{\delta}_{\rho}(M) </math>. Величина <math>M_{\rho}(M)</math> називається <math>\rho</math>-мірою
=== Властивості ρ-міри
* <math>\rho</math>-міра
* з точністю до множення на коефіцієнт: 1-міра
* <math>M_{\rho}(M)</math> спадає по <math>\rho</math>. Більш того для будь-якої множини <math>M</math> існує критичне значення <math>\rho_0</math>, таке, що:
** <math>M_{\rho}(M)=0 </math> для всіх <math>\rho>\rho_0</math>
** <math>M_{\rho}(M)=+\infty </math> для всіх <math>\rho<\rho_0</math> Значення <math>M_{\rho_0}(M)</math> може бути нульовим, скінченним або нескінченним.
=== Визначення розмірності
Розмірністю
== Властивості розмірності
* Розмірність
* Розмірність
* Для самоподібних множин розмірність
== Див. також ==
Рядок 54 ⟶ 51:
* Бенуа Мандельброт. Фрактальна геометрія природи.
* А. Морозов. Введение в теорию фракталов.
* Пайтген Х. О.
* Кроновер Р. М.
* Божокин С. В.
* K.I. Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications.
* Федер Е. Фракталы.
[[Категорія:Метрична геометрія]]
[[Категорія:Теорія розмірності]]
[[bg:Хаусдорфова размерност]]
|